סדרות אריתמטיות וסדרות גיאומטריות
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| arithmetic sequence/əˈrɪθmətɪk ˈsiːkwəns/ | סדרה אריתמטית |
| common difference/ˈkɒmən ˈdɪfrəns/ | הפרש אחיד |
| geometric sequence/ˌdʒiːəʊˈmetrɪk ˈsiːkwəns/ | סדרה גיאומטרית |
| common ratio/ˈkɒmən ˈreɪʃɪəʊ/ | יחס אחיד |
| explicit/ekˈsplɪsɪt/ | פורמולה מפורשת |
| recursive/rɪˈkɜːsɪv/ | רקורסיבי |
שתי דרכים לצמוח ברשימה
- התחל ב-$2$ ושמור על הוספת $2$: תקבל $2, 4, 6, 8, \dots$
- התחל ב-$1$ ומשך להכפיל: תקבל $1, 2, 4, 8, \dots$
- שניהן רישומי מספרים מסודרים — סדרות — אך הן צומחות בצורות שונות לחלוטין.
- אחת מוסיפה את אותו סכום; השנייה כופלת ב אותו סכום.
אריתמטיקה: הוספת אותו סכום
- סדרה אריתמטית מוסיפה מספר קבוע כדי לעבור מכל איבר לאיבר הבא.
- המספר הקבוע הזה הוא ההפרש המשותף.
- ב-$5, 8, 11, 14, \dots$ ההפרש המשותף הוא $+3$.
- בגרף, האיברים ממוקמים על קו ישר — צמיחה יציבה וליניארית.
לסדרה אריתמטית יש קבוע…
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
כל איבר הוא הקודם לו בפלוש הפרש נפוץ קבוע — הוספה מתמשכת זו הופכת אותה לסדרה אריתמטית.
גיאומטרי: כפולו באותו סכום
- סדרה גיאומטרית מכפילה במספר קבוע בכל צעד.
- המספר הקבוע הזה הוא יחס הדמיון.
- ב-$3, 6, 12, 24, \dots$, יחס הדמיון הוא $\times 2$.
- בגרף, האיברים מתעקמים כלפי מעלה בקצב תלול יותר.
עבור בסדרה איבר איבר
שנה את היחס הנפוץ וצפה כי סדרה גיאומטרית תתכופף כלפי מעלה הרבה יותר מהר מכל סדרה אריתמטית.
לסדרה גיאומטרית יש קבוע…
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
כל איבר הוא הקודם לו בפול יחס נפוץ קבוע — הכפלה מתמשכת זו הופכת אותה לסדרה גיאומטרית.
נוסחות פתוחות ורקורסיביות
- נוסחה פתוחה מובילה ישירות לכל איבר: אריתמטיקה $a_n = a_1 + (n-1)d$; גיאומטריה $a_n = a_1 \cdot r^{\,n-1}$.
- נוסחה רקורסיבית בונה כל איבר מהקודם לו: $a_n = a_{n-1} + d$ או $a_n = a_{n-1} \cdot r$.
- נוסחה פתוחה היא הטובה ביותר למציאת האיבר ה-100 מבלי לרשום את שאר האיברים.
- נוסחה רקורסיבית משקפת את האופן שבו הסדרה מיוצרת בפועל, צעד אחר צעד.
כלל ____ מגדיר כל איבר באמצעות האיבר שקודם לו.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
כלל רקורסיבי כמו $a_n = a_{n-1} + 3$ בונה מהאיבר הקודם; כלל ספציפי (אקספליסיטי) דווקא מוביל ישירות ל$a_n$.
סדרה גיאומטרית מתחילה ב-$3, 6, 12, 24, \dots$. מהו האיבר ה-5?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
היחס המשותף הוא $2$, ולכן האיבר ה-5 הוא $24 \times 2 = 48$.
איזה גדל מהר יותר
- בהתחלה, סדרה אריתמטית יכולה להיות מקדימה.
- אבל כל סדרה גיאומטרית עם יחס $> 1$ לבסוף תעקוף אותה – ולאחר מכן תתרחק במהירות.
- חיבור הוא ליניארי; כפל הוא אקספוננציאלי, והאקספוננציאל תמיד מנצח בטווח הארוך.
- זה אותו ניגוד שמפריד בין פונקציות ליניאריות לאקספוננציאליות.
בחר את כל המשפט们 האמיתיים על סדרות אלו.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
סדרות יכולות להתחיל בכל ערך. השלושה האחרים מתארים נכון את ההבדל בין חיבור לכפל.
בדוק האם רשימה מוסיפה או מכפילה לפני שתכנה אותה. $2, 4, 6, 8$ (הוספת 2) היא אריתמטית, אך $2, 4, 8, 16$ (כפילה ב-2) היא גיאומטרית – שני האיברים הראשונים נראים זהים, לכן תמיד בדוק איבר שלישי.
מצאו את האיבר ה-6 של $4, 12, 36, \dots$.
- יחס: $12 \div 4 = 3$, ולכן זו סדרה גיאומטרית עם $r = 3$.
- כלל מפורש: $a_n = 4 \cdot 3^{\,n-1}$.
- האיבר השישי: $a_6 = 4 \cdot 3^5 = 4 \cdot 243 = 972$.
סדרה אריטמטית מוסיפה הפרש משותף; סדרה גיאומטרית כופלת ב-יחס משותף. כתובו או עם כלל מפורש (קפיצה לכל איבר) או עם כלל רקורסיבי (בנייה מהאיבר הקודם). צמיחה גיאומטרית תפסה לבסוף את האריתמטית.