פונקציות רציונליות ונקודות חלולות
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| hole/həʊl/ | חור |
| factor/ˈfæktə/ | גורם |
| numerator/ˈnjuːməreɪtə/ | מונה |
| denominator/dɪˈnɒmɪneɪtə/ | מכנה |
| removable discontinuity/rɪˈmuːvəbl dɪskɒntɪˈnjuːɪti/ | הפרש רימוסבל |
| domain/dəˈmeɪn/ | תחום הגדרה |
נקודה אחת חסרה
- רוב הגרפים הרציונליים נשברים באופן דרמטי באסימפטוטות אנכיות.
- אך לעיתים הגרף הוא קו או עקומה רגילים לחלוטין — עם נקודה אחת בלבד שמחוקקת מהם.
- הפער הקטן הזה נקרא חור, והוא קל להחמיק.
- הוא מופיע בגלל סיבה אלגברית ספציפית מאוד.
מאיפה מגיעים החורים
- חור מופיע כאשר גורם מצטמצם מ-שני הצדדים, המונה והמכנה.
- נקחו את $\frac{(x-1)(x+2)}{(x-1)}$: ה$(x-1)$ מצטמצם, ומשאר אותנו עם $x+2$.
- הגרף המקוצר הוא הקו החלק $y = x + 2$.
- אך ב$x = 1$ השבר ההתחלתי היה $\frac{0}{0}$ — לא מוגדר — ולכן נקודה אחת חסרה.
נקודה חלולה בגרף רציונלי מופיעה שם…
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
גורם משותף למעלה ולמטה נצמצם, כך שהגרף המופשט חלק — אך הערך המקורי עדיין מושלך מהתחום, ונותר חור.
חור מול אסימפטוטה אנכית
- שניהם נובעים מאפס ב-מכנה, אך הם מתנהגים בצורה הפוכה.
- מצטמצם עם ה-מונה → הפרעה נשלפת: חור.
- לא מתצמצם → אסימפטוטה אנכית שבה הגרף שואף לאינסוף.
- לכן תמיד פקטרו והקלו קודם, ואז ראו אילו אפסים מתבטלים.
הפונקציה הממוקצת היא פשוט קו — עם נקודה אחת שנמחקה
y = ax + b
זהו הצורה הממוקצת של (x²−1)/(x−1). הגרף הוא הקו y = x + 1, אך הפונקציה המציאותית יש בה נקודה חלולה ב-x = 1 שבה המקורי לא היה מוגדר.
מה מבדיל בין חור לבין אסימפטוטה אנכית?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
גורם שנצמצם → חור הניתן להסרה; אפס מכנה שנשאר → אסימפטוטה אנכית בה הערכים מתפוצצים.
כדי למצוא את קואורדינטות החור, יש לצמצם את הגורם המשותף, ולאחר מכן לחשב את ערך הפונקציה ____ בערך המושלך.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
הפונקציה המופשטת נותנת את ערך ה-y שהגרף היה לו שם — זהו גובה החור.
מציאת קואורדינות הנקודה החסרה
- ביטלו גורם משותף כדי לקבל את הפונקציה המקוצרת.
- הצביעו את ערך ה-x המופסד לתוך הפונקציה המקוצרת זו כדי לקבל את ערך ה-y.
- עבור $\frac{(x-1)(x+2)}{x-1}$ ב-$x = 1$: הפישוט הוא $x+2$, מה שמניב $y = 3$.
- לכן הנקודה החסרה נמצאת ב-$(1, 3)$ — הנקודה שבה הגרף "היה אמור" לעבור.
גם לאחר שהגורם נצמצם, ערך ה-x של החור עדיין מושלך מתחום ההגדרה.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
הפונקציה המקורית מעולם לא הייתה מוגדרת שם, ולכן ביטול בגיאומטריה אינו מחזיר את הנקודה — התחום עדיין מכיל פער.
בחרו את כל האמירות הנכונות לגבי חור.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
חור אינו שולח את הפונקציה לאינסוף — זהו אסימפטוטה. השלושה האחרים נכונים.
עדיין מופסד מקבוצת ההגדרה
- הביטול הוא אלגברה; הוא אינו מחזיר את הקלט החסר.
- הפונקציה המקורית לא הייתה מוגדרת בערך x זה, ולכן היא נשארת מחוץ לקבוצת ההגדרה.
- הנוסחה המקוצרת מסכימה עם המקורית בכל מקום למעט בנקודה זו.
- זה בדיוק מה ש"ניתן להסרה" (removable) אומר: ניתן לתקון את החריק היחיד, אך הוא עדיין היה שם.
הקלת $\frac{(x-1)(x+2)}{x-1}$ ל-$x+2$ תקפה רק עבור $x \neq 1$. לעולם אל תורידו את ההגבלה — שתי הביטויים שווים בכל מקום למעט בנקודה החסרה, ושכחתם זאת מאבדים נקודה מקבוצת ההגדרה.
מקם כל חור של $f(x) = \dfrac{x^2 - 4}{x - 2}$.
- פקטרו את המונה: $\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}$, וביטלו $(x-2)$ → המקוצר $x + 2$.
- ערך מופסד $x = 2$; ערך המקוצר שם הוא $2 + 2 = 4$.
- לכן יש נקודה חסרה ב-$(2, 4)$, ואין אסימפטוטה אנכית.
נקודה חסרה היא פסקת הרצף ניתנת להסרה: גורם שמתבטל מ-מונה ומ-מכנה. מצאו אותה על ידי הקלה והצבה בערך ה-x המופסד. ה-x נשאר מחוץ לקבוצת ההגדרה — הביטול תוקן את הגרף אך לעולם לא יחזיר את הנקודה חזרה.