פונקציות רציונליות ואסימפטוטות אנכיות
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| denominator/dɪˈnɒmɪneɪtə/ | מכנה |
| vertical asymptote/ˈvɜːtɪkl ˈæsɪmptəʊt/ | אסימפטוטה אנכית |
| asymptote/ˈæsɪmptəʊt/ | אסימפטוטה |
| numerator/ˈnjuːməreɪtə/ | מונה |
| multiplicity/ˌmʌltɪˈplɪsɪti/ | ריבוי |
חלוקה כמעט לאפס
- נסה $1 \div 0.1 = 10$, אחר כך $1 \div 0.01 = 100$, ואז $1 \div 0.001 = 1000$.
- כשהמכנה מתכווץ לכיוון אפס, התוצאה מתפוצצת לכיוון אינסוף.
- פונקציה רציונלית עושה בדיוק זאת בקרבת קלט שמאפס את המכנה שלה.
- הגרף זוקק מעלה או מטה לאורך קו אנכי בלתי נראה.
שם המכנה פוגש אפס
- אסימפטורה אנכית היא קו אנכי שבו הגרף רץ לאורכו אך לעולם אינו חוצה.
- היא נמצאת בכל קלט הגורם למכנה להתאפס.
- שם הפונקציה אינה מוגדרת, וערכים סמוכים גוברים ללא גבול.
- ולכן כדי למצוא אסימפטורות אנכיות, משווים את המכנה לאפס ופותרים.
אסימפטוטה אנכית של פונקציה רציונלית נוצרת שם…
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
חילוק במספר השואף ל-$0$ גורם לערך להתפוצץ – ולכן ביטול מכנה (שהוא לא הוכר) נוצר אסימפטוטה אנכית.
…אלא אם כן הגורם מתקצר
- אם ערך מסוים מאפס גם את המונה, הגורם המשותף מתקצר.
- אזי הקלט הזה הוא חור, ולא אסימפטורה.
- לכן אסימפטורה אנכית דורשת התאפסות של מכנה שנשמרת לאחר ההתקצרות.
- תמיד לפשט קודם, ואז לקרוא את אפסי המכנה הנותרים.
גרור את האסימפטוטה האנכית ימינה ושמאלה
y = a/(x − b) + c
שינוי b והשבירה האנכית תזוז ל x = b – בדיוק הערך שמאפס את המכנה.
אם ערך גורם לביטול גם המונה וגם המכנה לאפס, ייתכן שתתקבל נקודה חלולה במקום אסימפטוטה אנכית.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
גורם משותף מתבטל, ולכן קלט זה נוצר בו נקודה חלולה (היפרדות). אסימפטוטה אנכית דורשת שהמכנה יישאר אפס כדי להישמר.
התנהגות בצדדים השונים
- אסימפטורה מתארת קו גבול; כאן הגבולות הם אינסופיים.
- משמאל לקו, $f(x) \to +\infty$ או $-\infty$; מימין לקו, אותו בחירה שוב.
- כתוב בסימון גבולות: $\lim_{x \to 2^-} f(x) = -\infty$ ו$\lim_{x \to 2^+} f(x) = +\infty$, לדוגמה.
- בדיקת ערך קרוב מאוד מצדדים שונים מגלה את הכיוון של כל ענף.
קרוב לאסימפטוטה אנכית, הגודל של $f(x)$ גדל ללא גבול לכיוון ____.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
בכל צד $f(x) \to +\infty$ או $-\infty$; העקומה זועפת למעלה או למטה לאורך האסימפטוטה.
הרציפות קובעת את הדפוס
- הרציפות של אפס המכנה מחליטה על הדפוס דו-צדדי.
- רציבות זוגית → הסימן משתנה חוצה את הקו: צד אחד $+\infty$, הצד השני $-\infty$.
- רציבות זוגית → הסימן זהה: שני הצדדים הולכים באותה כיוון.
- לכן $\frac{1}{x-2}$ (רציבות 1) מתרחק בכיוונים הפוכים, בעוד $\frac{1}{(x-2)^2}$ עולה בשני הצדדים.
אם אי-אפס במכנה הוא בעל ריבוי אי-זוגי, שני צדי האסימפטוטה…
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
ריבוי אי-זוגי הופך את הסימן כשחוצים אותו, ולכן שני הצדדים מתרחקים בצורה הפוכה. ריבוי זוגי שולח את שני הצדדים באותה כיוון.
בחרו את כל ההצהרות הנכונות לגבי אסימפטוטות אנכיות.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
גרף לעולם אינו חוצה את אסימפטוטו האנכית — הוא רק זועף לצידה. השלושה האחרונים נכונים.
אפס במכנה הוא רק אסימפטוטה אנכית אם הוא לא מצטמצם עם המונה. בדוק קודם לכל גורמים משותפים — אחרת תצייר אסימפטוטה שבה למעשה יש רק חור.
מצאו את האסימפטוטות האנכיות של $f(x) = \dfrac{x+1}{(x-3)(x+1)}$.
- אפסי מכנה: $x = 3$ ו$x = -1$.
- אך $x = -1$ גם מאפס את המונה, ולכן גורם זה מצטמצם — מדובר בחור, ולא באסימפטוטה.
- רק $x = 3$ היא אסימפטוטה אנכית.
אסימפטוטה אנכית נמצאת בכל אפס שנותר ב-מכנה — שם הגרף שואף ל$\pm\infty$. אם גורם מצטמצם עם ה-מונה, הנקודה הזו היא חור במקום. הריבוי של אפס המכנה קובע האם צדדי הגרף מתרחקים באותו כיוון או בכיוונים מנוגדים.