פונקציות רציונליות ואפסים
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| rational function/ˈræʃənl ˈfʌŋkʃn/ | פונקציה רציונלית |
| zeros/ˈzɪərəʊz/ | אפסים |
| numerator/ˈnjuːməreɪtə/ | מונה |
| domain/dəˈmeɪn/ | תחום הגדרה |
| denominator/dɪˈnɒmɪneɪtə/ | מכנה |
מתי שבר הוא אפס?
- חשבו על $\frac{0}{5}$, $\frac{5}{5}$ ו$\frac{5}{0}$: רק הראשון הוא אפס.
- שבר הוא אפס בדיוק כאשר מונה שלו הוא אפס — המכנה פשוט לא יכול להיות גם כן אפס.
- פונקציות רציונליות עוקבות אחרי אותו כלל פשוט.
- לכן, מציאת האפסים שלהן היא בעיית חיפוש רק במונה.
אפסים נובעים מהמונה
- פונקציה רציונלית היא $\frac{\text{numerator}}{\text{denominator}}$.
- ה-אפסים שלה הם הערכים הנכנסים הגורמים לכל הביטוי להיות שווה ל$0$.
- זה קורה רק שם שבו המונה שווה ל$0$.
- לכן, שוו את המונה לאפס ופתרו — אלו הן נקודות החיתוך עם ציר ה-x המועמדות.
שבר שווה ל-אפס רק כשה…
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
שבר הוא אפס רק כשהחלק העליון שלו הוא אפס (וחלק התחתון אינו). $\frac{0}{5} = 0$, אבל $\frac{5}{0}$ מוגדר לא.
...אבל רק אם הן מותרות
- מועמד לאפס סופק רק אם הערך נמצא בתחום ההגדרה של הפונקציה.
- אם הוא גורם גם למכנה להיות אפס, הפונקציה אינה מוגדרת שם — אין אפס.
- לכן, בדקו כל אפס במונה מול המכנה לפני שתסתמכו עליו.
איפה היא חוצה ואיפה היא נשברת?
y = a/(x − b) + c
העקומה חוצה את ציר ה-x באפסה שלה, אך נשברת ב-x = b כאשר המכנה הוא אפס. אלו שני מקומות שונים.
איפוס של המונה הוא נקודת איפוס אמיתית של הפונקציה רק אם ערך זה נמצא ב____ של הפונקציה.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
אם ערך גורם לביטול גם המונה וגם המכנה, הוא לא נמצא בתחום, ולכן מדובר בחור, ולא בנקודת איפוס.
ערכים שאינם מוגדרים אינם אפסים
- ערך הגורם רק למכנה להיות אפס מושלך מתחום ההגדרה.
- שם הפונקציה אינה מוגדרת — היא יוצרת אסימפטוטה אנכית או חור, ולא אפס.
- לעולם אל תקרא ערך בלתי מוגדר (excluded value) חיתוך עם ציר x.
- אפס למעלה → שורש של הפונקציה; אפס למטה → בעיה, לא שורש.
ערך הגורם לביטול המכנה הוא נקודת איפוס של הפונקציה.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
נקודות בהן המכנה מתאפס מושלכות מהתחום – הפונקציה אינה מוגדרת שם, ולא אפסית.
בדיקה על ידי הצבה
- כדי לאמת שורש, הצב את הערך ובדוק שהפונקציון נותן באמת $0$.
- $f(x) = \frac{x-4}{x+1}$ ב-$x = 4$: $\frac{0}{5} = 0$. כן — $x = 4$ הוא שורש.
- אותו מבחן דוחה ערך בלתי מוגדר, כי היית מחלק באפס.
- הצבה היא הבדיקה הסופית המאמינה ביותר.
כמה נקודות איפוס יש ל $f(x) = \dfrac{(x-3)(x+2)}{x^2+1}$?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
המונה מתאפס ב $x = 3$ וב $x = -2$; המכנה $x^2+1$ לעולם אינו מתאפס, ולכן שניהם תקינים – $2$ נקודות איפוס.
בחר את כל האמירות הנכונות לגבי נקודות איפוס של פונקציה רציונלית.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
נקודה בה המכנה מתאפס מושלכת, ואינה נקודת חיתוך עם ציר ה-x. השלוש האחרות נכונות.
אל תבלבל בין אפס במונה (שורש אמיתי, חיתוך עם ציר x) לבין אפס במכנה (ערך בלתי מוגדר). הם הפוכים זה לזה: האחד הוא המקום שבו הגרף נוגע בציר, והשני הוא המקום שבו הגרף נשבר.
מצא את השורשים של $f(x) = \dfrac{(x-2)(x+3)}{x-2}$.
- מועמדים לאפס במונה: $x = 2$ ו-$x = -3$.
- אך $x = 2$ גורם גם לאפס במכנה, ולכן הוא בלתי מוגדר — חור, לא שורש.
- רק $x = -3$ הוא שורש אמיתי של הפונקציה.
ה-שורשים של פונקציה רציונלית הם השורשים של ה-מונה שלה הנמצאים ב-תחום ההגדרה. ערך הגורם ל-מכנה להיות אפס הוא בלתי מוגדר, ולא שורש. תמיד בדוק שורשי מונה מול התחתית, ואמת על ידי הצבה.