פונקציות רציונליות והתנהגות בקצוות
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| rational function/ˈræʃənl ˈfʌŋkʃn/ | פונקציה רציונלית |
| numerator/ˈnjuːməreɪtə/ | מונה |
| denominator/dɪˈnɒmɪneɪtə/ | מכנה |
| horizontal asymptote/ˌhɒrɪˈzɒntl ˈæsɪmptəʊt/ | אסימפטוטה אופקית |
| slant asymptote/slænt ˈæsɪmptəʊt/ | אסימפטוטה אלכסונית |
| asymptote/ˈæsɪmptəʊt/ | אסימפטוטה |
| polynomial long division/ˌpɒlɪˈnəʊmɪəl lɒŋ dɪˈvɪʒn/ | חילוק ארוך של פולינומים |
משיכת החבל בין עליון לתחתון
- שבר כמו $\frac{2x^2}{x^2+1}$ כולל פולינום המושך מלמעלה ואחד מלמטה.
- הרחק ממקור, מי שגדל מהר יותר מחליט איפה הערך יתייצב.
- התוצאה היא לעיתים קרובות קו שטוח שהגרף חוזה אך מעולם לא מגיע אליו במלואו.
- קריאת קו זה היא הדרך לתאר את קצבות פונקציה רציונלית.
מהי פונקציה רציונלית
- פונקציה רציונלית היא פולינום אחד מחולק בפולינום אחר: $\frac{\text{numerator}}{\text{denominator}}$.
- המונה הוא החלק העליון; המכנה הוא החלק התחתון.
- התנהגות הקצה שלה היא מאבק בין הדרגות השתיים.
- השוו את החזקות הגבוהות ביותר של העליון והתחתון — רק כך נקבעים הקצבות.
השוו את הדרגות
- תחתון גדול: השבר מתכווץ כלפי $0$, ולכן $y = 0$ הוא אסימפטוטה אופקית.
- מעלות שוות: הקצוות מתקרבים ליחס המקדמים המובילים.
- המונה גדול ב-1: הקצוות עוקבים אחר אסימפטוטה אלכסונית (קו מוטה).
- המונה גדול יותר: אין אסימפטוטה — הפונקציה צומחת כמו פולינום.
הזז את האסימפטוטה האופקית למעלה ולמטה
y = a/(x − b) + c
שנה את ⟦c⟧ והעקומה כולה מתחלקת בגובה חדש y = ⟦c⟧ הרחק — הקו האופקי הזה הוא ההתנהגות בקצה.
אם למכנה יש מעריך גבוה יותר מאשר למונה, ההתנהגות בקצה שואפת ל…
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
מכנה גדול יותר משליט על המונה, ולכן השבר צמוד ל$0$: ציר ה-x הוא אסימפטוטה אופקית.
אם למונה ולמכנה יש מערכים שווים, האסימפטוטה האופקית היא…
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
עבור $\frac{3x^2+\dots}{x^2+\dots}$ הקצוות שואפים ל$y = 3/1 = 3$ — יחס המכפילים הבולטים.
האסימפטוטה האופקית או האלכסונית
- אסימפטוטה היא קו שהגרף מתקרב אליו אך לעולם אינו חוצה אותו במרחק רב.
- מעלות זהות → אסימפטוטה אופקית בגובה שאינו אפס; מכנה דומיננטי → אסימפטוטה אופקית ב-$y = 0$.
- מעלת המונה גדולה ב-1 ממעלת המכנה → אסימפטוטה אלכסונית במקום אופקית.
- בכל מקרה, קצוות הגרף מתיישרים על קו זה.
כאשר דרגת המונה היא בדיוק ביותר אחת מדרגת המכנה, לגרף יש אסימפטוטה ____.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
ההתנהגות בקצוות נובעת מקו אלכסוני — אסימפטוטה אלכסונית — שהתגלה על ידי חלוקה ארוכה של פולינומים.
איזה תוצאות התנהגות בקצוות אפשריות לפונקציה רציונלית?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
לפונקציה רציונלית יכולה להיות אסימפטוטה אופקית, אסימפטוטה אלכסונית, או אף אחת — אך לעולם לא שתיים באותו קצה.
חלוקה ארוכה הופכת את הדבר לברור
- חלוקה ארוכה של פולינומים מחזירה את $\frac{\text{top}}{\text{bottom}}$ לצורה מכפיל $+$ שארית/מכנה.
- במרחק רב, איבר השארית מתאפס, ונותר רק המכפיל.
- אם המכפיל הוא מספר, זוהי האסימפטוטה האופקית; אם הוא קו, זוהי האסימפטוטה האלכסונית.
- גבולות אומרים את אותו דבר: $\lim_{x\to\infty} f(x)$ שווה למכפיל זה.
חלוקה ארוכה של פולינום יכולה לכתוב מחדש פונקציה רציונלית כדי לחשוף את התנהגותה האסימפטוטית.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
החלוקה נותנת "מכפיל + שארית/מכנה"; המכפיל הוא הקו או העקומה שבה הם קצוות הולכים.
רק האיברים המובילים של המונה והמכנה קובעים את התנהגות הקצוות — האיברים הקטנים יותר מתבזבזים במרחק מה מהראשית. לכן השוו תחילה בין המעלות; אל תתבלבלו בקבועים או באיברים האמצעיים.
מצאו את התנהגות הקצוות של $f(x) = \dfrac{3x^2 - 5}{x^2 + 4}$.
- גם המונה וגם המכנה בעלי מעלה $2$ — שוויון מעלות.
- האסימפטוטה האופקית היא יחס המקדמים המובילים: $y = \frac{3}{1} = 3$.
- לכן ב-$\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = 3$: הגרף משתטח לכיוון הקו $y = 3$.
עבור פונקציה רציונלית, השוו את הדרגות של מונה ומכנה: מכנה גדול יותר → אסימפטוטה אופקית $y = 0$; שווה → אסימפטוטה אופקית ביחס המקדמים המובילים; מונה גדול בדרגה אחת → אסימפטוטה אלכסונית. חילוק ארוך של פולינומים חושף את הישר שממנו הקצוות נובעים.