פונקציות פולינומיות והתנהגות בקצוות
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| end behavior/end bɪˈheɪvjə/ | התנהגות בקצוות |
| degree/dɪˈɡriː/ | דרגה |
| leading coefficient/ˈliːdɪŋ ˌkəʊɪˈfɪʃənt/ | מקדם המוביל |
| leading term/ˈliːdɪŋ tɜːm/ | איבר ראשון |
מה קורה במרחק גדול בקצוות?
- בסביבת האמצע, לפולינום יכול להיות התנהגות מתנודדת ומורכבת.
- אך כאשר מתקרבים למרחק רב שמאלה ומרחק רב ימינה, הסיפור שלו הופך לפשוט.
- כל פולינום לבסוף פונה החוצה לכיוון $+\infty$ או $-\infty$ בכל אחד מהקצוות.
- רק שתי עובדות לגבי הכלל קובעות לאיזה כיוון כל קצה הולך.
התנהגות בקצוות, במילים
- התנהגות בקצוות היא מה שהפלט עושה כאשר הקלט הולך ונעלם לאחד משני הצדדים.
- קצה שמאלי: מה שקורה כאשר $x \to -\infty$. קצה ימני: מה שקורה כאשר $x \to +\infty$.
- לכל קצה יש רק שתי אפשרויות: לעלות כלפי $+\infty$ או לרדת כלפי $-\infty$.
- לכן קיימות ארבע "צורות קצה" אפשריות בלבד עבור פולינום כלשהו.
התנהגות בקצוות מתארת מה קורה ל$f(x)$ כאשר $x \to +\infty$ ו$x \to -\infty$.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
בדיו – זהו ההתנהגות הרחוק בצדדים הקיצוניים של ציר ה-x.
הדרגה והמקדם המוביל קובעים זאת
- ה-דרגה (זוגית או אי-זוגית) קובעת האם שני הקצוות מתאימים זה לזה או מולים זה לזה.
- דרגה זוגית → שני הקצבות מצביעים באותה כיוון. דרגה אי-זוגית → הקצבות מצביעים בכיוונים מוליים.
- המקדם המוביל (הסימן שלו) קובע לאחר מכן האם העלייה או הירידה.
- מקדם חיובי → הקצה הימני עולה; מקדם שלילי → הקצה הימני יורד.
הפוך את המקדם המוביל וראה את הקצוות מתהפכים
y = ax³ + bx² + cx + d
זהו עקום בדרגה אי-זוגית, ולכן קצותיו מצביעים בכיוונים הפוכים. עשה him negative והקציים יחליפו כיוון.
פולינום בדרגה אי-זוגית עם מקדם מוביל חיובי…
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
מעלה אי-זוגית גורמת לקצוות לרמז בכיוונים מנוגדים; מקדם מוביל חיובי מעלה את הקצה הימני (ולכן הקצה השמאלי יורד).
פולינום בעל מעלה זוגית עם מקדם מוביל שלילי…
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
מעלה זוגית גורמת לקצוות לרמז ב-אותו כיוון; מקדם מוביל שלילי משאיל את שני הקצוות כלפי מטה.
אילו מאפיינים קובעים את התנהגות הקצוות של פולינום?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
רק המעלה וסימן המקדם המוביל רלוונטיים לקצוות; הקבוע ומספר האיברים אינם משפיעים.
התאם כל סוג פולינום להתנהגות הקצוות שלו.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
מעריכי אי-זוגי → קצוות מנוגדים; מעריכי זוגי → קצוות זהים. סימן הנטייה קובע האם העליון או התחתון.
כתיבה באמצעות גבולות
- מתמטיקאים מקודדים התנהגות בקצוות באמצעות סימון גבולות.
- "הקצה הימני עולה" נכתב כך: $\lim_{x \to \infty} f(x) = \infty$.
- "הקצה השמאלי יורד" נכתב כך: $\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty$.
- זוהי דרך חסכונית להגיד בדיוק לאן כל קצה הולך.
מדוע האיבר המוביל מנצח
- רחוק מהראשית, האיבר בעל החזקה הגבוהה ביותר גדל הרבה יותר מהר מכל שאר האיברים.
- ב-$x^3 - 100x$, ב-$x = 1000$ האיבר $x^3$ הוא מיליארד בעוד שהאיבר $100x$ הוא רק מאה אלף.
- לכן האיבר המוביל בלבד קובע את התנהגות הקצה — שאר האיברים הופכים לרעש.
- לכן לעולם אין צורך באיברים הקטנים כדי לקבוע את הקצוות.
לקלטות בעלות גודל גדול, האיבר ____ הוא הדומיננטי בערך הפולינום.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
האיבר בעל החזקה הגבוהה ביותר (המוביל) צומח מהר ביותר, ולכן הוא דוחק את שאר האיברים הרחק מהראשית.
התנהגות בקצה תלויה רק בדרגה ובסימן המקדם המוביל – לעולם לא במונה הקבוע או בכמה איברים יש. פולינום בדרגה-5 ו-$x^5$ בעלי התנהגות קצה זהה, בין אם האמצע נראה מבולגן.
תיארו את הקצוות של $f(x) = -2x^4 + x^3 + 5$.
- דרגה $4$ היא זוגית → שני הקצבות מצביעים לכיוון זה.
- המקדם המוביל $-2$ הוא שלילי → שני הקצבות מצביעים למטה.
- לכן עבור $\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = -\infty$: הגרף יורך משני הצדדים.
התנהגות קצה נקבעת על ידי שני גורמים: הדרגה (זוגית → קצבות זהים, אי-זוגית → קצבות הפוכים) והסימן של המקדם המוביל (למעלה או למטה). הרחק מהראשית, האיבר המוביל שולט בכל איבר אחר, ולכן רק עובדות אלו חשובות.