פונקציות פולינומיות ושורשים מרוכבים
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| degree/dɪˈɡriː/ | דרגה |
| real zeros/rɪəl ˈzɪərəʊz/ | אפסים ממשיים |
| multiplicity/ˌmʌltɪˈplɪsɪti/ | ריבוי |
| factored form/ˈfæktəd fɔːm/ | צורה מפוקטרת |
| complex zeros/ˈkɒmpleks ˈzɪərəʊz/ | אפסים מרוכבים |
| conjugate pairs/ˈkɒndʒuːɡeɪt peəz/ | זוגות מלווים |
לאן הלכו השורשים האחרים?
- הגרף של $y = x^2 + 1$ הוא פרבולה המרחפת כולה מעל ציר ה-x.
- היא לעולם אינה חוצה אותו, ולכן נראה כי יש אין פתרונות ל-$x^2 + 1 = 0$.
- עם זאת, אלגברה דורשת שמשוואת דרגה-2 תכיל שני שורשים.
- השורשים החסרים נסתרים במספרים המרוכבים.
אפסים ממשיים ומשכפלות
- האפסים הממשיים של פולינום הם הערכים של x שבהם הגרף חוצה או נוגע בציר ה-x.
- ניתן לקרוא אותם ישירות מה-צורה המפורקת: $(x-2)(x+3)$ מכיל אפסים ב-$2$ וב-$-3$.
- גורם חוזר כמו $(x-2)^2$ נותן אפס בעל משכפלת שתי.
- משכפלת זוגית → הגרף נוגע וקופץ; משכפלת אי-זוגית → הוא חוצה.
אפס שבו הגרף רק נגיע לציר ה-x (במקום לחצות אותו) בעל מריכה זוגית ____.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
מריכה זוגית ($(x-3)^2$) גורמת לעקומה לקפוץ מהציר; מריכה אי-זוגית גורמת לה לחצות אותו.
כאשר הגרף לא פוגע בציר
- חלק מפולינומים לעולם אינם מגיעים לציר ה-x, ולכן יש להם פחות אפסים ממשיים מהדרגה שלהם.
- האפסים ה"חסרים" הם אפסים מרוכבים — ערכים המיוצרים באמצעות $i = \sqrt{-1}$.
- הם同样 אמיתיים כפתרונות; הם פשוט אינם מופיעים כתוך-צירים.
פרבולה שאינה נוגעת מעולם בציר ה-x יש כמה אפסים ממשיים?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
אי-נטיעה בציר ה-x פירושה אין אפסים ממשיים. אך עדיין יש לו שניים אפסים — הם מרוכבים.
אפסים מרוכבים נעים בזוגות
- אם לפולינום יש מקדמים ממשיים ו$a + bi$ הוא שורש, אז גם $a - bi$ הוא שורש.
- שותפים אלו המשתקפים זה בזה נקראים זוגות מרוכבים.
- לכן שורשים מרוכבים תמיד מגיעים בזוגות — לעולם לא לבד.
- לכן פולינום ממשי יכול להיות לו $0, 2, 4, \dots$ שורשים מרוכבים, אך לעולם לא מספר אי-זוגי של שורשים כאלו.
שורש מרוכב והשותף המשקף שלו
שרטוט אפס a + bi. עבור פולינום ממשי, המרוכב a − bi (התמונה המושרתת לאורך הציר הממשי) חייב להיות גם כן אפס.
עבור פולינום עם מקדמים ממשיים, אפסים מרוכבים תמיד מגיעים בזוגות מרוכבים.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
אם $a + bi$ הוא אפס, אזי $a - bi$ חייב להיות גם כן. זוהי הסיבה לכך שאפסים מרוכבים מגיעים בשתיים.
ספירת כל השורשים
- לפולינום בדרגה $n$ יש בדיוק $n$ שורשים, ברגע שמספרים את השורשים הממשיים והמרוכבים יחד עם הרצף (ריבוי).
- זוהי משפט היסוד של האלגברה, והוא מעולם לא מכשל.
- לכן לכל קובית יש $3$ שורשים; ולכל רביעית יש $4$ שורשים.
- אם רואים פחות חתכי ציר-x מה-דרגה, השאר הם שורשים מרוכבים.
בספירה עם מריכה, כמה אפסים יש לפולינום בדרגה 4 בסך הכל?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
פולינום בדרגה-$n$ יש בדיוק $n$ אפסים בסך הכל, ממשיים ומרוכבים בספירה עם מריכה.
קובית (דרגה 3) יש בדיוק 1 אפס ממשי. כמה אפסים מרוכבים (לא-ממשיים) היא חייבת להיות?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
סה"כ אפסים $= 3$. עם $1$ ממשיים, האחרים $2$ הם זוג מרוכב.
סמן את כל ההצהרות האמתיות.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
חוסר נטיעה בציר ה-x אינו מפחית את ספירת האפסים — האפסים החסרים הם מרוכבים. האחרים כולם נכונים.
חתך ציר-x "חוסר" אינו אומר שהפולינום יש פחות שורשים. הספירה הכוללת של שורשים תמיד שווה לדרגה — השורשים הנסתרים הם פשוט מרוכבים. אל תדווחו על רביעית כבעלת "שני שורשים" רק כי רואים שני חתכי ציר-x.
פתור $x^2 + 1 = 0$.
- בסידור מחודש: $x^2 = -1$, ולכן $x = \pm\sqrt{-1} = \pm i$.
- שני השורשים הם $i$ ו$-i$ — זוג מרוכב, בדיוק כמו שהובהט.
- הפרבולה $y = x^2 + 1$ מרחפת מעל הציר כי אין לשום אחד מהשורשים ערך ממשי.
השורשים הממשיים הם חתכי ציר-x, כאשר רצף זוגי/אי-זוגי קובע מגע או חצייה. כל שורש שנותר הוא שורש מרוכב, והם תמיד מופיעים בזוגות מרוכבים. בספירה עם רצף, המספר הכולל של שורשים תמיד שווה לדרגה.