פונקציות פולינומיאליות וקצבי שינוי
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| degree/dɪˈɡriː/ | דרגה |
| leading term/ˈliːdɪŋ tɜːm/ | איבר ראשון |
| polynomial function/ˌpɒlɪˈnəʊmɪəl ˈfʌŋkʃn/ | פונקציית פולינום |
| local maximum/ˈləʊkl ˈmæksɪməm/ | מקסימום מקומי |
| local minimum/ˈləʊkl ˈmɪnɪməm/ | מינימום מקומי |
| point of inflection/pɔɪnt ɒv ɪnˈflekʃn/ | נקודת קעירות |
| concavity/kənˈkævɪti/ | קעירות |
כמה גלים יכולה לעוות קרבה?
- קו ישר הוא ישר; לפרבולה יש כיפוף אחד; אך ישנן קרבות העולות ויורדות מספר פעמים.
- מה קובע כמה גבעות ועמקות הגרף מוותר לו להיות?
- התשובה מוסתרת במספר אחד בחוק הפונקציה.
- הכירו את הפולינומים — הפונקציות הבנויות מעוצמות $x$.
דרגה ומונע מוביל
- פונקציית פולינום היא סכום של מונעים כמו $3x^4$, $-2x$, ו-$7$.
- ה-דרגה שלה היא מעלה החזקה הגבוהה ביותר של $x$ שמופיעה.
- המונע המוביל הוא המונע עם מעלה החזקה הגבוהה ביותר — הוא דומיננטי בגרף עבור ערכים גדולים של $x$.
- הדרגה היא המספר היחיד החשוב ביותר: היא מגבילה כמה הקרבה יכולה להיות מעוותת.
המעלה של פולינום היא…
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
המעלה היא החזקה הגבוהה ביותר על המשתנה — לדוגמה, ל$2x^4 - x + 7$ יש מעלה $4$. היא קובעת את צורת הגרף הכוללת והתנהגות הקצוות.
מקסימומים ומינימום מקומיים
- עקוב אחר פולינום משמאל לימין וסמן היכן הוא משנה כיוון.
- מקסימום מקומי הוא שיא: העלייה הופכת לירידה.
- מינימום מקומי הוא שפל: הירידה הופכת לעלייה.
- בין נקודות השינוי האלו הפונקציה עולה או יורדת באופן רציף.
עיצבו מחדש פונקציה מעוכבת סדר שלישי וספרו את נקודות ההפיכה שלה
y = ax³ + bx² + cx + d
כוונו את המקדימים. עקומה מסדר 3 יכולה להסתובב עד פעמיים במקסימום — נסו לגרום לה לסובב שלוש פעמים (לא תצליחו).
נקודה שבה הגרף עובר מצניחה לעליה היא מקסימום מקומי ____.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
מינימום מקומי הוא עמק — העקומה מפסיקה לרדת ומתחילה לעלות.
נקודות קעירות
- גם בין נקודות השינוי, העקום יכול לשנות את הדרך שבה הוא מתכופף.
- נקודת קעירות היא הנקודה בה הקעירות משתנה: קעירות כלפי מעלה הופכת לקעורות כלפי מטה, או להפך.
- בנקודת קעירות קצב השינוי מפסיק להתאיץ ומתחיל להיאט (או ההפך).
- לכן זוהי הנקודה התלולה ביותר או החלקה ביותר על קטע עולה או יורד.
נקודת קעירות היא נקודה שבה…
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
ברגל קעירות, העקומה מפסיקה להתכופף בצד אחד ומתחילה להתכופף בצד השני — קעורה למעלה הופכת לקעורה למטה, או להפך.
הדרגה מגבילה את המספר
- פולינום מדרגה $n$ יש לו עד $n - 1$ נקודות שינוי כיוון.
- יש לו גם עד $n - 2$ נקודות קעירות.
- קובית (דרגה $3$) יכולה לשנות כיוון עד פעמיים; רביעית (דרגה $4$) עד שלוש פעמים — כמו בתרשים למעלה.
- "עד" חשוב: עקום עשוי להיות בעל פחות גלים, אך לעולם לא יותר מהשהדרגה מאפשרת.
מהו המקסימום מספר נקודות היפוך שיכול להיות לפולינום במעלה 5?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
פולינום בדרגה-$n$ יש בו עד $n - 1$ נקודות שינוי, ולכן דרגה $5$ מאפשרת עד $4$.
פולינום בדרגה-3 יכול להיות לו 3 נקודות שינוי.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
דרגה $3$ מאפשרת עד $3 - 1 = 2$ נקודות שינוי. יכול להיות לו $2$ או אף אחת, אך לעולם לא $3$.
סמן את כל האמרות הנכונות לגבי גרפי פולינומים.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
פולינום מעורב יכול להיות לו $2$ נקודות שינוי או אף אחת (למשל $y = x^3$), ולכן "חייב להיות לו 2" אינו נכון. שלושת האחרים נכונים.
"עד" אינו " בדיוק". קובית יכולה להיות בעלת שתי נקודות שינוי, אך $y = x^3$ אין לה כלל — היא עולה לאורך כל הדרך, עם נקודת קעירות אחת במקור. הדרגה קובעת את הגבול העליון, ולא את המספר המדויק.
התבונן ב$f(x) = x^3 - 3x$.
- דרגה $3$, ולכן עד $2$ נקודות שינוי כיוון — והוא בדיוק $2$: מקסימום מקומי סמוך ל$x = -1$ ומינימום מקומי סמוך ל$x = 1$.
- ביניהם, ב-$x = 0$, הכימור משתנה: זהו נקודת העיקום שלו.
- האיבר המוביל $x^3$ גורם לגרף לצנוח בצד השמאלי הרחוק ולעלות בצד הימני הרחוק.
הדרגה של פונקציית פולינום (המעלה הגבוהה ביותר) קובעת את צורת הגרף: עד סך כול $n - 1$ נקודות שינוי — מקסימומים ומינימום מקומיים—ועד סך כול $n - 2$ נקודות עיקום, שבהן הכימור משתנה. האיבר המוביל קובע מה קורה במרחק רב מכל צד.