קצבי שינוי בפונקציות ליניאריות וריבועיות
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| quadratic function/kwɒˈdrætɪk ˈfʌŋkʃn/ | פונקציה ריבועית |
| linear function/ˈlɪnɪə ˈfʌŋkʃn/ | פונקציה ליניארית |
| constant/ˈkɒnstənt/ | קבוע |
| slope/sləʊp/ | שיפוע |
| average rate of change/ˈævrɪdʒ reɪt ɒv tʃeɪndʒ/ | שיעור שינוי ממוצע |
שני סוגי עלייה
- מע escalator מרים אותך בקצב יציב: כל שנייה מרוויחה אותו גובה.
- מטוס במסלול נסיעה שונה: כל שנייה הוא מרוויח יותר מהירות מהשנייה הקודמת.
- שניהם "עולים", אך הדרך בה הם משתנים שונה לחלוטין.
- פונקציות ליניאריות וריבועיות הן שתי החברות הראשונות באמורא זו.
פונקציה ליניארית: קצב קבוע
- גרף של פונקציה ליניארית הוא קו ישר.
- ה-שיפוע שלה זהה בכל נקודה, ולכן ה-קצב הממוצע של שינוי שלה זהה בכל פרק זמן.
- לאורך $[0, 2]$ או $[10, 12]$ או כל מרווח אחר — תמיד מקבלים את אותו מספר בדיוק.
- קצב בלתי משתנה אחד כזה הוא מה ש"ליניארי" באמת מתכוון אליו.
קצב השינוי הממוצע של פונקציה ליניארית על כל קטע הוא…
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
לקו ישר יש שיפוע קבוע אחד, ולכן קצב השינוי הממוצע זהה בכל כל קטע — זה מה שגורם לו להיות ליניארי.
פונקציה ריבועית: קצב משתנה
- גרף של פונקציה ריבועית הוא פרבולה מעוגלת.
- בגלל העיקום, השיפוע שלה שונה במיקומים שונים — קצב השינוי ממשיך להשתנות.
- בסביבת הקודקוד היא כמעט שטוחה; הרחק מהקודקוד היא חדה.
- לכן, קצב השינוי הממוצע שלה תלוי באיזה פרק זמן תבחר.
גליל אחד הופך פרבולה לקו ישר
y = ax² + bx + c
הגדר a = 0 כדי לקבל קו ישר — השיפוע שלו קבוע. הגדר a ≠ 0 והעקומה מתעקמת, ולכן כעת קצב השינוי ממשיך להשתנות.
עבור פונקציה ריבועית, קצב השינוי הממוצע זהה בכל קטע.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
לפרבולה יש עיקום, ולכן השיפוע שלה משתנה;margin; קטעים שונים נותנים קצבי שינוי ממוצעים שונים.
צעדים שווים חושפים את הדפוס
- קחו צעדים שווים בקלט והציגו את התוצאות של $y = x^2$: $0, 1, 4, 9, 16$.
- הקפיצים ביניהם — ההפרשים הראשונים — הם $1, 3, 5, 7$.
- הקפיצות הללו אינן קבועות, אלא הן גדלות באותו סכום ($2$) בכל פעם.
- לכן, קצב השינוי של פונקציה ריבועית אינו קבוע, אלא משתנה בצורה יציבה וליניארית לחלוטין.
עבור $y = x^2$, ההפרשים הראשונים ב-$x = 1, 2, 3$ הם $3, 5, 7$. באיזה סכום קבוע הם גדלים בכל צעד?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$5 - 3 = 2$ ו-$7 - 5 = 2$. הפרש השני הקבוע הזה הוא חתימת האצבע של פונקציה ריבועית.
עבור פונקציה ריבועית, צעדים שווים ב-$x$ נותנים הפרשים ראשונים שמ…
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
ההפרשים הראשונים עצמם יוצרים דוגמה ליניארית — הם גדלים באותו סכום בכל צעד. (הכפלה פי שניים בכל פעם הייתה מעריכית.)
כל קצב ממוצע הוא שיפוע מיתר
- לכל פונקציה, קצב השינוי הממוצע על $[a, b]$ הוא שיפוע הקו החותך המחבר את נקודות הקצה שלה.
- עבור קו ישר, כל קו חותך נמצא בדיוק על הגרף — אותו שיפוע בכל פעם.
- עבור פרבולה, כל קו חותך נוטה בזווית שונה — זהו סימן גלוי לקצב משתנה.
- קריאת שיפועי הקווים החותכים היא הדרך להשוות כיצד שתי פונקציות משתנות.
סדר את השלבים למציאת קצב שינוי ממוצע על $[a, b]$.
Difficulty 3/5 · 200 coins + a small bonus on first completion today
הערכים תחילה, ואז ההפרש ביניהם, ואז חלוקה בהפרש הקלט — זהו שיפוע המיתר.
סמן את כל ההצהרות האמתיות.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
קצב השינוי של פונקציה ריבועית אינו קבוע — הוא משתנה באופן אחיד (ההפרש השני שלו קבוע). שלושת היתר הצהרות נכונות.
אל תקראו לקצב של פונקציה ריבועית "קבוע" רק כי הדפוס צפוי. הקצב עצמו משתנה ממרווח למרווח; מה שקבוע הוא השינוי בקצב. עבור קו ישר, השינוי בקצב הוא אפס.
כדור הנמלט נופל מרחק $d = 5t^2$ מטרים לאחר $t$ שניות.
- מרחקים ב-$t = 0, 1, 2, 3$: $0, 5, 20, 45$ מטרים.
- הפרשים הראשונים (מרחק בכל שנייה): $5, 15, 25$ — גדלים בכמות קבועה $10$.
- מהירות הכדור עולה לינארית גם שה-מרחק הוא ריבועי.
פונקציה ליניארית משתנה בקצב קבוע אחד — לכל קו חותך יש אותו שיפוע. קצב השינוי של פונקציה ריבועית אינו קבוע: במרווחים שווים ההפרשים הראשונים גדלים בכמות קבועה, ולכן הקצב משתנה באופן רציף. קצב השינוי הממוצע על $[a, b]$ הוא תמיד שיפוע הקו החותך.