קצבי שינוי
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| rate of change/reɪt ɒv tʃeɪndʒ/ | שיעור שינוי |
| average rate of change/ˈævrɪdʒ reɪt ɒv tʃeɪndʒ/ | שיעור שינוי ממוצע |
| interval/ˈɪntəvl/ | מרווח |
| slope/sləʊp/ | שיפוע |
| secant line/ˈsiːkənt laɪn/ | קו חותך |
| constant/ˈkɒnstənt/ | קבוע |
במהירות בדיוק?
- מדד המהירות של רכב עונה לשאלה שהמדוד לא יכול לענות: לא כמה נסע, אלא במהירות כמה כרגע.
- "במהירות משתנה הפלט?" היא השאלה המרכזית של כל הקורס הזה.
- התשובה היא מספר הנקרא קצב שינוי.
- שיעור זה מודד אותו בשתי דרכים: לאורך מרווח, ובמועד יחיד.
קצב שינוי ממוצע
- לאורך תחום מ-$x = a$ עד $x = b$, השווו את סך השינוי בפלט לסך השינוי בקלט.
- קצב השינוי הממוצע הוא $\dfrac{f(b) - f(a)}{b - a}$ — שינוי בפלט חלקי לשינוי בקלט.
- זוהי יחס, ולכן היא תמיד כוללת יחידות: מטרים לשנייה, דולרים לשנה, °C לדקה.
- דוגמה במילים: אם הטמפרטורה עלתה ב-12°C לאורך 4 שעות, קצב השינוי הממוצע היה 3°C בשעה.
קצב השינוי הממוצע של $f$ על פני המרווח $[a, b]$ שווה ל…
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
זוהי השינוי בתוצאה חלקי השינוי במתן, כלומר יחס, ולכן הוא נשאיר יחידות של תוצאה ליחידת מתן.
זהו השיפוע של קוטע
- צייר את הישר המחבר את שני הקצוות $(a, f(a))$ ו-$(b, f(b))$: זהו הקוטע.
- ה-שיפוע שלו — עלייה חלקית לריצה — הוא בדיוק קצב השינוי הממוצע.
- קוטע תלול יותר → שינוי ממוצע מהיר יותר; קוטע יורד → קצב שלילי.
מרחק הרץ הוא $f(t)$ מטרים. אם $f(2) = 10$ ו-$f(5) = 40$, מהי המהירות הממוצעת על $[2, 5]$?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
מהירות ממוצעת $= \dfrac{40 - 10}{5 - 2} = \dfrac{30}{3} = 10$ מ"ש — שיפוע המיתר על פני המרווח הזה.
על גרף, קצב השינוי הממוצע על פני $[a, b]$ הוא השיפוע של ה…
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
המיתר מחבר בין $(a, f(a))$ ל-$(b, f(b))$; שיפועו שווה בדיוק לקצב השינוי הממוצע.
הקצב בנקודה בודדת
- למיתר נדרשים שתי נקודות. כדי לקבל את הקצב ב-נקודה אחת בלבד, צמצם את הקטע.
- חשב קצבים ממוצעים על קטעים קטנים וקטנים יותר סביב הנקודה.
- כשהקטע מתכנס לאפס, המיתר נוטה והופך למשיק — שיפועו הוא הקצב בנקודה המדויקת הזו.
- "הקצב ברגע זה" הוא הרעיון שמתפתח לגמרי אנליזה בשנה הבאה.
כנסו את המרווח עד שהמיתר הופך למשיק
f(x) = 0.5x²
גררו את הנקודה כדי לקרוא את השיפוע בנקודה יחידה — זהו הגבול של קצב השינוי הממוצע כשהמרווח מתכווץ לאפס.
כדי להעריך את קצב השינוי בנקודה יחידה, משתמשים בקצבים ממוצעים על מרווחים ____ מאוד סביבה.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
ככל שהמרווח מתכווץ לכיוון אפס, שיפוע המיתר מתקרב לשיפוע בנקודה המדויקת הזו.
סימן, גודל ויחידות
- חיובי של קצב אומר שהפלט עולה; שלילי אומר שהוא יורד; אפס אומר שאין שינוי.
- מספר גדול יותר (בלי להסתכל על הסימן) אומר שינוי מהיר יותר.
- עבור קו ישר, הקצב זהה בכל מקום — הוא קבוע.
- תמיד הצג את היחידות: קצב שינוי ללא יחידות הוא רק מחצית התשובה.
קצב שינוי ממוצע שלילי מעיד על ירידה בתוצאה לאורך המרווח.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
יחס שלילי מעיד שהתוצאה הסתייעה נמוכה יותר מאשר החלה — הפונקציה ירדה, בממוצע, לאורך המרווח.
בחרו את כל האמיתות לגבי קצב שינוי ממוצע.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
יכול להיות חיובי, שלילי או אפס. כל שאר הדברים נכונים: זהו שיפוע, יש לו יחידות מידה, והוא מקרב את קצב הנקודה על קטעים קצרים.
קצב שינוי ממוצע עוסק בשני הקצוות בלבד — הוא מתעלם מכל מה שבין לבין. טייל שעלה ואז ירד חזר לאותה גובה יש לו קצב ממוצע של אפס, גם שהוא זז כל הזמן.
רכב נוסע 150 ק"מ בין השעה 1:00 ל-3:00.
- מהירות ממוצעת $= \dfrac{150 \text{ km}}{2 \text{ h}} = 75$ ק"מ/שעה.
- זהו שיפוע המיתר על גרף המרחק-זמן לאורך שתי השעות הללו.
- המהירות בפועל של הרכב השתנתה באופן מתמיד — 75 ק"מ/שעה הם רק הממוצע.
הקצב השינוי הממוצע על $[a, b]$ הוא $\dfrac{f(b) - f(a)}{b - a}$, השיפוע של מיתר העובר דרך הקצוות. צמצם את הקטע לעבר אפס והוא יהפוך לקצב בנקודה בודדת. תמיד דווח על היחידות.