שינוי במקביל
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| input/ˈɪnpʊt/ | כניסה |
| output/ˈaʊtpʊt/ | יציאה |
| increasing/ɪnˈkriːsɪŋ/ | עולה |
| decreasing/ˈdiːkriːsɪŋ/ | יורד |
| constant/ˈkɒnstənt/ | קבוע |
| interval/ˈɪntəvl/ | מרווח |
| concavity/kənˈkævɪti/ | קעירות |
| rate of change/reɪt ɒv tʃeɪndʒ/ | שיעור שינוי |
| concave up/kɒnˈkeɪv ʌp/ | קעור כלפי מעלה |
| concave down/kɒnˈkeɪv daʊn/ | קעור כלפי מטה |
| turning point/ˈtɜːnɪŋ pɔɪnt/ | נקודת שינוי |
| local maximum/ˈləʊkl ˈmæksɪməm/ | מקסימום מקומי |
| local minimum/ˈləʊkl ˈmɪnɪməm/ | מינימום מקומי |
צפה למים לעלות
- מזרק מים לכוס בקצב קבוע וצפה כשהרמה עולה.
- בכוס ישרה הרמה עולה בקצב קבוע; באגרטל מעוגל היא מאיצה ומאטה.
- שני גדלים — המים שנזרקו והגובה — משתנים יחד, בתזמון.
- הקלקולוס הקדם-אוניברסיטאי מתחיל בתיאור בדיוק איך גדל אחד כשהשני עושה זאת.
פונקציה מקשרת קלט לתפוקה
- פונקציה לוקחת כניסה (ערך של $x$) ומחזירה בדיוק יציאה (כתובה כ$f(x)$).
- כשהקלט משתנה, התפוקה משתנה גם היא – זהו שינוי בתזמון.
- אנחנו כותבים $f(2)$ כדי להגיד "התפוקה כאשר הקלט הוא $2$".
- לכן כל הסיפור של פונקציה הוא שאלה אחת: כש$x$ נע, לאן הולך $f(x)$?
עולה, יורדת או קבועה
- בחר תחום – קטע בציר הקלט – ועקוב אחר התפוקה משמאל לימין.
- הפונקציה עולה במקום בו התפוקה עולה כשהקלט נע ימינה.
- היא יורדת במקום בו התפוקה יורדת כשהקלט נע ימינה.
- הוא קבוע כאשר הפלט נשאר יציב.
- ניתן לקרוא זאת ישירות מגרף: עלייה היא גידול, ירידה היא ירידה.
פונקציה היא גוברת על מרווח כאשר…
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
גידול קשור ל-כיוון, לא לגודל: תזוז ימינה לאורך הקלט והפלט עולה. הפונקציה יכולה להיות גוברת גם כשערךיה עדיין שליליים.
אם הגרף שטוח לחלוטין (אופקי) על מרווח, הפונקציה היא קבועה בשם רגע.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
גרף שטוח משמעותו שהפלט אינו משתנה עם שינוי הקלט — זה בדיוק מה שקבוע אומר.
קעירות: האם השינוי מאיץ או מאט?
- גם כאשר עקומה ממשיכה לגדול, ה-קצב השינוי (מהירות התנועה של הפלט) יכול להשתנה בעצמו.
- קעירות מתארת איזה כיוון העקומה מתכופפת.
- קעורה כלפי מעלה — העקומה מתכופפת כלפי מעלה כמו כוס, ולכן קצב השינוי גדל.
- קעורה כלפי מטה — העקומה מתכופפת כלפי מטה כמו כיפה, ולכן קצב השינוי קטן.
- שוב אגרטל מעוגל: במקום שהוא מצטמצם, הגובה עולה מהר יותר ומהר יותר (קעור כלפי מעלה).
אמירה שעקומה היא קעורה כלפי מעלה אומרת לך ש…
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
מעוגל כלפי מעלה, דמוי כוס: הקצב שינוי עצמו עולה. עקומה יכולה להיות מעוגלת כלפי מעלה גם כאשר היא יורדת — דמיינו מגלשה שמתחטאת בתחתיתה.
נקודות שינוי: מקסימומים ומינימומים מקומיים
- במקום שבו עקומה מפסיקה לגדול והתחילה לרדת, היא מגיעה ל-מקסימום מקומי — פסגה.
- במקום שבו היא מפסיקה לרדת והתחילה לגדול, היא מגיעה ל-מינימום מקומי — עמק.
- כל פסגה או עמק כאלו הם נקודות שינוי.
- "מקומי" אומר הגבוה או הנמוך ביותר בקירבה — לא בהכרח על כל הגרף.
שיפוע המשיק הוא אכן קצב השינוי
f(x) = x³ − 3x
גרור את הנקודה וקרא את שיפוע המשיק — חיובי כאשר העקומה עולה, שלילי כאשר היא יורדת, ואפס בנקודת חולף.
נקודה בה גרף מפסיק לעלות ומתחילה לרדת היא מקום ____ מקומי.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
במקסימום מקומי העקומה פונה מהכיוון העולה לכיוון היורד — פסגה הגבוהה ביותר בהשוואה לנקודות סמוכות.
הסתכלו על העקומה בדיאגרמה. בחרו את כל ההצהרות הנכונות.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
העקומה עולה, פונה בפסגה, יורדת לקער, ולאחר מכן עולה שוב. היא אינה מעוגלת כלפי מעלה בכל המקומות — היא מתעגלת כלפי מטה בקרבת הפסגה וכלפי מעלה בקרבת הקער.
"גידול" ו"קעור כלפי מעלה" הן רעיונות שונים. גידול עוסק בפלט העולה; קעור כלפי מעלה עוסק בקצב השינוי העולה. עקומה יכולה להיות יורדת וגם קעורה כלפי מעלה בו-זמנית — יורדת אך משטחת כשהיא יורדת.
השוואת שני פלטים
- כדי להשוות פונקציה בשני קלטים $a$ ו$b$, יש להשוות את הפלטים שלהם $f(a)$ ו$f(b)$.
- אם $b > a$ ו$f(b) > f(a)$, הפלט גדל כשהקלט גדל.
- השינוי הנטו בפלט מ$a$ ל$b$ הוא פשוט $f(b) - f(a)$.
- אם הפונקציה חוזרת לערך זהה, השינוי הכולל הוא אפס — גם אם היא עלתה וירדה בדרך.
לפונקציה יש $f(2) = 5$ ו-$f(6) = 5$. מהו השינוי הנקי בתוצאה בין $x = 2$ ל-$x = 6$?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
שינוי נקי $= f(6) - f(2) = 5 - 5 = 0$. התוצאה הסתיימה באותו מיקום שבו החלה — גם אם ייתכן שהיא עלתה וירדה ביניהן.
התאמו כל מונח לתיאור המתאים לו.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
עלייה/ירידה מתארים את כיוון התוצאה; מעגליות מתארת כיצד ה-קצב שינוי עצמו משתנה; מקסימום מקומי הוא הנקודה שבה הכיוון מתהפך.
כוס תה מתקררת מ-90°C לטמפרטורת החדר.
- הטמפרטורה (הפלט) יורדת לאורך כל הזמן — היא מעולם לא חזרה לעלות.
- אך היא יורדת מהר בהתחלה ואז לאט: העקומה קעורה למעלה.
- אין מקסימום או מינימום מקומיים באמצע — הכיוון מעולם אינו משתנה.
התנהגות של פונקציה נקראת מהגרף שלה: היא עולה או יורדת בתחומים מסוימים, ה-קעירות שלה מספרת האם קצב השינוי מאיץ או מאט, והנקודות המעגלות שלה הן המקסימוסים והמינימוסים המקומיים שבהם הכיוון משתנה.