שדות חשמליים של חלוקת טעונים
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| integral/ˈɪntɪɡrəl/ | אינטגרל |
| symmetry/ˈsɪmətri/ | סימטריה |
מה אם המטען מפוזר לאורך מוט, ולא נקודה?
- גופים אמיתיים נושאים מטען המפוזר לאורך קו, משטח או נפח.
- סכום פשוט של $E = kQ/r^2$ לא יספיק — אין מרחק יחיד ⟨$r$⟩.
- טריק האינטגרציה: לחלק את המטען לחלקים זעירים ולהוסיף את השדות שלהם.
- זהו ליבת AP Physics C: להפוך סכום ל-אינטגרל.
צפיפות מטען
- מפוזר לאורך קו: צפיפות קווית $\lambda = \dfrac{dq}{d\ell}$ (C/m).
- מפוזר על משטח: צפיפות שטחית $\sigma = \dfrac{dq}{dA}$ (C/m²).
- ממלא נפח: צפיפות נפחית $\rho = \dfrac{dq}{dV}$ (C/m³).
- כל אחת מאפשרת לכתיבת מטען קטן כ$dq = \lambda\,d\ell$, ⟨$\sigma\,dA$⟩ או ⟨$\rho\,dV$⟩.
צפיפות מטען ליניארית $\lambda$ היא בעלת יחידות:
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$\lambda = dq/d\ell$ הוא מטען לינארי, C/m.
חלוקה ליחידות dq
- בחרו יחידה זעירה ⟨$dq$⟩ במרחק ⟨$r$⟩ מנקודת ה$P$ שלך.
- היא יוצרת שדה זעיר ⟨$dE = \dfrac{k\,dq}{r^2}$⟩, המכוון מ$dq$ אל ⟨$P$⟩.
- לכל יחידה יש כיוון מעט שונה — ⟨$d\vec E$⟩ הוא וקטור.
- סכום אותם: $\vec E = \displaystyle\int d\vec E$.
בניית שדה
ראו כיצד מטען גדול וצפוף יותר בונה שדה חזק יותר מתרוממות רבות.
השדה ממרכיב קטן $dq$ במרחק $r$ הוא $dE = k\,dq/$ ____.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
כל מרכיב הוא מטען נקודתי: $dE = k\,dq/r^2$.
בחרו את כל השלבים הנכונים לשדה של חלוקת מטען.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
צפיפות → dE → אינטגרציה. שימוש יחיד ב-kQ/r² נכשל מכיוון ש-r שונה עבור כל מרכיב.
השתמשו בסימטריה כדי לבטל רכיבים
- חיבור וקטורים הוא מורכב, לכן הניחו לסימטריה לעשות את העבודה.
- עבור צורה סימטרית, הרכיבים האופקיים מתאפסים בזוגות.
- רק הרכיב לאורך ציר הסימטריה נשאר.
- אינטגרלו רק את הרכיב הנשאר — הרבה פחות אלגברה.
למטען סימטרי, רכיבי השדה האופקיים לעיתים קרובות מבטלים זה את זה בזוגות.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
סימטריה מבטלת רכיבים אנכיים, ומשאירה רק את החלק הצירי.
דוגמה פתורה: הקו האינסויטי
- עבור קו מטען אינסויטי, האינטגרל נותן $E = \dfrac{2k\lambda}{r}$.
- שמו לב: הוא חולף כ-$1/r$, לא כ-$1/r^2$ — המטען הנוסף הרחוק יותר עוזר.
- משטח טעון נותן שדה שטוח אף יותר, $E = \dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0}$ (קבוע).
- צורת הגוף קובעת כמה מהר השדה מתרופף.
השדה של קו מטען אינסופי פוחת לפי:
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
קו אינסופי נותן $E = 2k\lambda/r$ — ירידה מסוג $1/r$.
משטח טעון נותן $E = \sigma/(2\varepsilon_0)$. אם $\sigma$ כפול, כמה פעמים גדול יותר הופך $E$?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$E \propto \sigma$, ולכן הכפלת $\sigma$ כופלת גם את $E$.
טבעת ברדיוס $a$ נושאת מטען $Q$. מצאו את $E$ על צירה, במרחק $x$ מהמרכז.
- לפי הסימטריה, רק החלק לאורך הציר נשאר.
- האינטגרל נותן $E = \dfrac{kQx}{(x^2 + a^2)^{3/2}}$, המופנה לאורך הציר.
עליכם לחבר את השדות הקטנים כ-וקטורים, ולא רק את גדליהם. דילוג על הסימטריה וסיכום גודלים יניבו תשובה שגויה (גדולה מדי) — יש לבטל תמיד את הרכיבים שהסימטריה מבטלת תחילה.
עבור מטען מפוזר, כתבו $dq$ עם צפיפות ($\lambda,\sigma,\rho$), מצאו את ה-$dE = k\,dq/r^2$ של כל אלמנט, ואינטגרלו $\vec E = \int d\vec E$. השתמשו בסימטריה כדי לבטל רכיבים. קו אינסויטי נותן $E = 2k\lambda/r$; משטח נותן קבוע $E = \sigma/2\varepsilon_0$.