מערכות ומרכז מסה
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| centre of mass/ˈsentə ɒv mæs/ | מרכז מסה |
| system/ˈsɪstəm/ | מערכת |
| external force/ekˈstɜːnl fɔːs/ | כוח חיצוני |
| internal force/ɪnˈtɜːnl fɔːs/ | כוח פנימי |
| particle/ˈpɑːtɪkl/ | נקודת חומר |
מפתח מסתובב — אך נקודה אחה זזה בקו ישר
- החליקו מפתח מסתובב על הקרח וכל חלק ממנו מצייר לולאה מבולגנת.
- אבל נקודה מיוחדת אחת נודדת בקו ישר מושלם — מרכז המסה.
- לטפל באובייקט מורכב (או בקבוצת אובייקטים) כאילו כל מסותיו מרוכזות שם.
- רעיון זה יוצר מערכת אחת שהופכת נקודה קלה לעקוב אחריה.
מהו מערכת
- מערכת היא כל קבוצת אובייקטים שאנו בוחרים ללמוד יחד.
- הכל השאר הוא הסביבה; כוחות מבחוץ הם כוחות חיצוניים.
- כוחות בין חברי המערכת הם כוחות פנימיים.
- לפי החוק השלישי של ניוטון, כוחות פנימיים מגיעים בזוגות שמבטלים זה את זה — הם לעולם לא מזיזים את מרכז המסה.
על פי החוק השלישי של ניוטון, הכוחות הפנימיים של מערכת תמיד ____ בזוגות.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
כוחות פנימיים הם זוגות פעולה-תגובה, ולכן סכומם אפס ואינם יכולים להזיז את מרכז המסה.
מיקום מרכז הכובד
- מרכז המסה הוא ממוצע משקולתי של מיקום כל חלק.
- עבור מסות נקודתיות בקו: $\displaystyle x_{\text{cm}} = \frac{m_1 x_1 + m_2 x_2 + \cdots}{m_1 + m_2 + \cdots}$.
- הוא נמצא קרוב יותר למסה הכבדה — המסה הגדולה "מושכת" את הממוצע לכיוונה.
- הוא אינו חייב להיות בתוך האובייקט: מרכז המסה של טבעת נמצא בחור הריק.
מצא את נקודת האיזון
שנו את שני המסות ואת המרחקים שלהן, וראו איפה מערכת זו מאוזנת — במרכז המסה.
מסה $2\ \text{kg}$ נמצאת ב-$x = 0$ ומסה $6\ \text{kg}$ ב-$x = 8\ \text{m}$. איפה מרכז המסה, במטרים?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$x_{\text{cm}} = \dfrac{2(0) + 6(8)}{2 + 6} = \dfrac{48}{8} = 6\ \text{m}$ — קרוב יותר למסה הכבדה.
מרכז המסה של מערכת נתונה מתואר בצורה הטובה ביותר כ:
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
זהו $\frac{\sum m_i x_i}{\sum m_i}$ — כל מיקום משוקלל לפי המסה שלו.
שתי מסות שוות יושבות ב-$x = 2\ \text{m}$ וב-$x = 6\ \text{m}$. איפה מרכז המסה שלהן, במטרים?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
מסות שוות ⇒ מרכז המסה נמצא באמצע: $(2 + 6)/2 = 4\ \text{m}$.
מדוע מרכז הכובד חשוב
- כוחות חיצוניים בלבד מזיזים את מרכז הכובד: $\vec F_{\text{net,ext}} = M\,\vec a_{\text{cm}}$.
- ללא תלות בכך חלקים מסתובבים או מתנגשים זה בזה בתוך המערכת, מרכז המסה עומד בחוק פשוט זה.
- צולל מבצע סיבוב, אך מרכז המסה שלו עוקב אחר פרבולה חלקה.
- זוהי הסיבה שאנו יכולים לדגמן אובייקט מורחב כאילו היה חלקיק יחיד.
בחרו את כל האמיתיות לגבי מרכז המסה.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
זהו משוקלל לפי מסה (קרוב לחלקים הכבדים), מוזז רק על ידי כוחות חיצוניים, ומאפשר לטפל בגוף כנקודה — אך הוא לא תמיד המרכז הגיאומטרי.
מרכז המסה אינו תמיד המרכז הגיאומטרי, והוא אינו חייב להימצא בתוך החומר. עבור דונאט או בומראנג הוא נמצא במרחב ריק. רק עבור אובייקט אחיד וסימטרי שני הדברים חופפים זה לזה.
מרכז המסה חייב להישאר תמיד בתוך החומר של הגוף.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
לטבע או לבומרנג יש מרכז מסה באוויר הפתוח. רק גופים מוצקים סימטריים שומרים אותו בתוכם.
כדור בעל מסת $2\ \text{kg}$ נמצא במיקום $x = 0$ וכדור בעל מסת $6\ \text{kg}$ נמצא במיקום $x = 8\ \text{m}$.
- $x_{\text{cm}} = \dfrac{(2)(0) + (6)(8)}{2 + 6} = \dfrac{48}{8} = 6\ \text{m}$.
מרכז הכובד נמצא בנקודה $6\ \text{m}$ — קרוב מאוד לכדור הכבד יותר הממוקם ב-$6\ \text{kg}$.
מערכת היא סט מוגדר של גופים; מרכז הכובד שלה הוא ממוצע משוקלל לפי מסה, $x_{\text{cm}} = \frac{\sum m_i x_i}{\sum m_i}$, השוכן קרוב יותר לחלקים הכבדים. כוחות פנימיים מתבטלים זוגית; רק כוחות חיצוניים ($\vec F_{\text{net,ext}} = M\vec a_{\text{cm}}$) יכולים להזיז את מרכז הכובד.