מציאת סדרת טיילור או מקלורן לפונקציה
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| Taylor series/ˈteɪlə ˈsɪəriːz/ | סדרת טיילור |
| Maclaurin series/məˈklɔːrɪn ˈsɪəriːz/ | סדרת מקלורן |
הפולינום שלא נגמר לעולם
- פולינום טיילור מתעצר בדרגה $n$. אם תשאירו אותו לנצח, תקבלו סדרת טיילור.
- $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^{n}$ — הגרסה האינסופית, המייצגת בדיוק את $f$ בתחום שבו היא מתכנסת.
- ממוקדת ב$0$, זוהי סדרת מקלורן.
- כמה מהם שווה לדעת בעל פה.
סדרת טיילור שמרכזה ב-$0$ נקראת סדרת ____.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
מקלורן = טיילור שמרכזו ב-$0$.
סדרות מקלורן חובה לדעת
- $\displaystyle e^{x}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n}}{n!}=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots$
- $\displaystyle \sin x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!}=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots$
- $\displaystyle \cos x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!}=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots$
- $\displaystyle \frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^{\infty}x^{n}=1+x+x^2+\cdots$ (סדרה גיאומטרית, $|x|<1$).
cos x מהסדרה שלו
$\cos x=1-\tfrac{x^2}{2!}+\tfrac{x^4}{4!}-\cdots$ — חזקות זוגיות, סימנים מתחלפים, מכפלים בתוריים במכנה.
סדרת מקלורן עבור $e^x$ היא...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
כל החזקות, מקדמים $\tfrac1{n!}$, ללא התחלפות.
הסדרה עבור $\dfrac{1}{1-x}$ (עם $|x|<1$) היא...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
הסדרה הגיאומטרית $1+x+x^2+\cdots$.
בניתוח מאפס
- חשבו $f(a),f'(a),f''(a),\dots$ והכניסו לתוך $\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n$, איבר לאיבר.
- חפש את התבנית בנגזרות כדי לכתוב את האיבר הכללי בדרגה $n$.
- סדרות הידועות לעיל נגזרות בדרך כלל פעם אחת ואז משמשות מחדש — תחזק אותן.
- האיבר הכללי הוא מה שהופך זאת ל-סדרה, ולא רק מספר איברים.
באמצעות $\cos x\approx1-\tfrac{x^2}{2}$, הערך $\cos(0.2)$.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$1-\tfrac{0.04}{2}=0.98$.
$\sin$ ו$\cos$ משתייכים לאותה משפחה
- שיים לב ש-$\sin x$ משתמש במעריכים זוגיים ו-$\cos x$ משתמש במעריכים זוגיים — ושתי סדרות מתחלפות סימן.
- $e^x$ מכיל כל מעריכים עם כל המקדמים חיוביים $\tfrac1{n!}$.
- תבניות אלו מאפשרות לך לכתוב איברים במהירות ולזהות איזה סדרה הנדרשת בשאלה.
- זיהוי המשפחה הוא חצי מהקרב בבחינה.
סדרת מקלורן עבור $\sin x$ משתמשת ב-...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$\sin x=x-\tfrac{x^3}{3!}+\cdots$ (זוגיות, מתחלפות).
המכנים בסדרות סטנדרטיות אלו הם פקטוריאלים.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
המונ $n$ הוא $n!$ (או $(2n)!$, $(2n+1)!$).
שמור על ה-פלוריאלים ועל תבנית הסימנים מסודרים: $\sin x$ בעל מעריכים אי-זוגיים $x^{2n+1}$ (מתחיל ב-$x$), $\cos x$ בעל מעריכים זוגיים $x^{2n}$ (מתחיל ב-$1$), שניהם מתחלפים; $e^x$ בעל כל המעריכים, ללא החלפה. ערבוב בין אי-זוגי/זוגי או השמטת ה-$(-1)^n$ היא הטעות הקלאסית.
כתוב את סדר מקלורן עבור $\cos x$ והשתמש בו כדי להעריך את $\cos(0.2)$ בשני איברים.
- $\cos x=1-\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^4}{4!}-\cdots$
- שני איברים ב-$x=0.2$: $1-\dfrac{0.04}{2}=1-0.02=0.98$.
- נכון $\cos 0.2\approx0.980$. ✓
סדרת טייलור היא $\sum\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n$ אינסופית; כאשר מרכזה הוא $0$, היא נקראת סדרת מקלורן. יש לזכור $e^x$, $\sin x$, $\cos x$ ו-$\frac{1}{1-x}$. שים לב לדפוסים של מכפלות חלוק (factorials) ו-סימנים: $\sin$ = חזקות זרות, $\cos$ = חזקות זוגיות, שתי סדרות מתחלפות; $e^x$ = כל החזקות, ללא התחלפות.