שרטוט שדות שיפועים
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| slope field/sləʊp fiːld/ | שדה שיפועים |
מפת ש slopes across the plane
- משוואה דיפרנציאלית $\dfrac{dy}{dx}=F(x,y)$ נותנת שיפוע בכל נקודה.
- ציור קטע קצר עם השיפוע הזה בכל נקודה ברשת, ומקבלים שדה שיפועים.
- זו "מפה" המראה לאיזה כיוון פתרונות חייבים לנוע בכל מקום.
- אין צורך לפתור את המשוואה כדי לצייר אותה — רק לחשב את השיפוע.
שדה שיפועים עבור dy/dx = ay
לכל קו מרווח יש שיפוע $\tfrac{dy}{dx}$ בנקודה שלו — שטוח סמוך ל$y=0$ ותלול יותר הרחק מהמקור עבור $\tfrac{dy}{dx}=ay$.
שדה שיפוע מראה, בכל נקודה, את ה-...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
כל קטע פסולתי הוא כיוון המשיק במקום זה.
ציור שדה שיפעות דורש חישוב שיפועות בלבד — אין לכם ____ צורך לפתור את המשוואה.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
המשוואה מספקת את השיפוע ישירות.
חשב את השיפוע בכל נקודה
- בנקודת רשת $(x,y)$, הצב את הערך בביטוי $\dfrac{dy}{dx}=F(x,y)$ כדי לקבל המספר — זהו השיפוע של הקטע.
- שיפוע $0$ → קטע אופקי; חיובי גדול → קטע תלול כלפי מעלה; שלילי → קטע כלפי מטה.
- חזור על הפעולה על גבי רשת נקודות כדי למלא את השדה.
- המשוואה מספקת ישירות את השיפוע; אין צורך באנטגראל.
עבור $\dfrac{dy}{dx}=x+y$, מצאו את השיפוע של הקו הפסולת בנקודה $(2,3)$.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$2+3=5$.
עבור $\dfrac{dy}{dx}=xy$, השיפוע בנקודה $(3,2)$ הוא...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$xy=3\cdot2=6$ (השתמשו בשתי הקואורדינטות).
זיהוי מהיר של דפוסים
- אם $F$ תלויה רק ב-$x$: השיפוע זהה לאורך כל עמוד אנכי (העמודות נראות זהות).
- אם $F$ תלויה רק ב-$y$: השיפוע זהה לאורך כל שורה אופקית (השורות נראות זהות).
- עבור $\dfrac{dy}{dx}=y$: השיפועים גדלים עם הגובה — שטוחים סמוך ל-$y=0$ ותלולים ככל שהמרחק גדל.
- זיהוי דפוסים אלו מאיץ משמעותית את הציור.
אם $\dfrac{dy}{dx}$ תלוי רק ב-$x$, הקטעים הפסולתיים בכל עמודה אנכית מקבילים.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
אותו ערך $x$ → אותו שיפוע לאורך העמודה.
קווי איזון
- במקום בו $F(x,y)=0$, השיפוע הוא $0$ — שורה (או עקומה) של קטעים אופקיים.
- עבור $\dfrac{dy}{dx}=y$, הדבר מתרחש ב-$y=0$: שורה אופקית שלמה של קטעים שטוחים.
- קווים אלו מסמנים לעיתים התנהגות איזון — פתרונות עשויים להתייצב בהם.
- הם הנקודות הקלות ביותר לסמן, לכן התחל מהן.
עבור $\dfrac{dy}{dx}=y$, הקווקויות הן אופקיות לאורך הקו...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
שיפוע $=y=0$ לאורך $y=0$.
שדה שיפועים מראה את השיפועים של המשוואה הדיפרנציאלית, ולא את עקומי הפתרון עצמם. הקטעים הקטנים הם כיווני משיק; פתרון הוא עקומה שנשארת מגעת בהם. וחשב את השיפוע לפי ה-$(x,y)$ של הנקודה, ובאמצעות $y$ גם כאשר $F$ תלויה בו — לא רק ב-$x$.
צייר כמה שיפועים עבור $\dfrac{dy}{dx}=x$.
- ב-$(1,0)$: שיפוע $=1$. ב-$(2,5)$: שיפוע $=2$. ב-$(-1,3)$: שיפוע $=-1$.
- מכיוון ש-$F=x$ (ללא $y$), לכל נקודה בעמודה אנכית יש אותו שיפוע.
- עמודות של קטעים מקבילים: שטוחות ב-$x=0$, ומטיילות יותר ככל שהערך ב-$|x|$ גדל.
שדה שיפוע מציג קטע קצר בשיפוע $\frac{dy}{dx}=F(x,y)$ בכל נקודה ברשת — זהו מפת כיווני מגע, ללא צורך בפתרון. חשב את השיפוע בכל $(x,y)$; חפש דפוסים (עמודות תואמות אם $F$ תלוי רק ב$x$, שורות אם רק ב$y$) וקווים אופקיים כאשר $F=0$.