אינטגרציה באמצעות אינטגרציה בחלקים
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| Integration by parts/ˌɪntɪˈɡreɪʃn baɪ pɑːts/ | אינטגרציה בחלקים |
כלל המכפלה, הפוך
- הכלל שרשרת ההפוך נתן להצבה. מה מפך את כלל המכפלה? אינטגרציה בחלקים.
- הוא מטפל באינטגרלים של מכפלה שההצבה לא פותרת — כמו $\int x e^x\,dx$.
- הטריק: להחליף אינטגרל קשה בקל יותר על ידי העברת הנגזרת מגורם אחד לשני.
- זהו כלי העבודה העיקרי לבחינת BC עבור מכפלות של פונקציות שונות.
אינטגרציה בחלקים היא הפועלת ההפוכה של איזה כלל?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
היא מבטלת את כלל המכפלה.
הנוסחה
- מכלל המכפלה, מאינטגרל:
-
$$\int u\,dv = uv - \int v\,du$$
- אתה בוחר חלק מהאינטגרנד להיות $u$ (שהוא תנחה נגזרת) והשאר להיות $dv$ (שהוא תנחה אינטגרל).
- אז $du=u'\,dx$ ו$v=\int dv$, ואתה בונה $uv-\int v\,du$.
מכפלה לאינטגרציה
y = a·e^{bx}
אינטגרציה בחלקים מחליפה $\int x e^x$ בעקב הקל יותר $\int e^x$ — על ידי העברת הנגזרת מהגורם האלגברי.
נוסחת האינטגרציה בחלקים היא $\int u\,dv=$
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$\int u\,dv=uv-\int v\,du$ (שימו לב למינוס).
בחירת $u$ ו$dv$ בצורה חכמה
- שואפים להפוך את האינטגרל $\int v\,du$ חדש לפשוט יותר מהמקורי.
- עדיפות מועילה עבור $u$ (LIATE): Lוגריתם, Iנורס טריגונומטרי, Aלגברתי, Tריגונומטרי, Eקספוננציאלי — בחרו $u$ מהתחלה ברשימה זו.
- ולכן ב-$\int x e^x\,dx$: $u=x$ (אלגברי) ו-$dv=e^x\,dx$.
- בחירה טובה מצמצמת את הבעיה; בחירה גרועה מחמירה אותה.
עבור $\int x e^x\,dx$, בחירה טובה היא $u=$
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
לפי LIATE, הגורם האלגברי $x$ הוא $u$; $dv=e^x\,dx$.
סימן שימושי נפוץ לבחירת $u$ הוא ____ (L-I-A-T-E).
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
לוגריתם, פונקציות טריגונומטריות הפוכות, אלגברי, טריגונומטרי, אקספוננציאל.
יש לבחור $u$ ו-$dv$ כך שהאינטגרל החדש $\int v\,du$ יהיה פשוט מהמקורי.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
זו כולה עיקר הבחירה.
לעיתים חוזר על עצמו, ולעיתים יוצר לולאה
- אם $\int v\,du$ עדיין מיוצג כמכפלה, יש לחזור על אינטגרציה בחלקים שוב.
- עבור $\int x^2 e^x\,dx$ תשתמשו בו פעמיים, פותחים ריבוע אחד של $x$ בכל פעם.
- כמה אינטגרלים (כמו $\int e^x\sin x\,dx$) חוזרים לאחור לתוצאה המקורית — פתרו אלגברית עבור זה.
- שמרו על $u,du,v,dv$ מסומן בצורה מסודרת כדי למנוע שגיאות סימן.
$\displaystyle\int x e^x\,dx=$
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$xe^x-\int e^x\,dx=xe^x-e^x+C$.
בחרו ב↦x$u$ ו↦y$dv$ כך שהביטוי $\int v\,du$ יהיה פשוט יותר — בחירה שגויה עלולה להפוך אותו לקשה או לגרום לכם לסובב במעגלים. אל תשכחו את סימן החסר: הנוסחה היא $uv-\int v\,du$. ו-F$v$ היא כל פונקציה מקיימת של $dv$ (הורידו את C$+C$ רק בסוף התוצאה הסופית/לא סופית).
חשב את $\displaystyle\int x e^x\,dx$.
- נתנו $u=x$, $dv=e^x\,dx$. אז $du=dx$, $v=e^x$.
- $\displaystyle\int x e^x\,dx = uv-\int v\,du = x e^x - \int e^x\,dx$.
- $= x e^x - e^x + C = e^x(x-1)+C$.
אינטגרציה בחלקים היא הפוך ל-כלל המכפלה: $\int u\,dv=uv-\int v\,du$. בחרו ב-$u$ (להפיק גזירה) וב-$dv$ (לאינטגרציה) — באמצעות LIATE — כך ש-$\int v\,du$ יהיה פשוט יותר. שימו לב לסימן החיסار, והפעילו אותו חוזר ונשנה (או פתרו את הלולאה) כאשר נדרש.