חישוב נגזרות מסדר גבוה
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| second derivative/ˈsekənd dɪˈrɪvətɪv/ | גזירה שנייה |
| higher-order derivatives/ˈhaɪə ˈɔːdə dɪˈrɪvətɪvz/ | גזירות מסדר גבוה |
| acceleration/əkˌseləˈreɪʃn/ | תאוצה |
גזור את הגזירה
- אין מה שיעצור אותך לגזור שוב את $f'$. התוצאה היא הגזירה השנייה $f''$.
- המשך כך ותקבל גזירות מסדר גבוה: $f'''$, $f^{(4)}$, וכדומה.
- כל אחת מהן מודדת את קצב השינוי של הקודמת לה.
- הגזירה השנייה היא הכוכבת: היא מתארת כיצד השיפוע עצמו משתנה.
מע:init and its slopes
y = ax³ + bx
הגזירה הראשונה $f'$ של פונקציה קובית היא פרבולה והגזירה השנייה $f''$ היא ישר — כל גזירה היא בדרגה נמוכה יותר באחד.
פשוט חזור על התהליך
- מצא את $f'$ באמצעות כלכללים שתיחסב, ולאחר מכן גזור את זה כדי לקבל את $f''$.
- $f(x)=x^4 \Rightarrow f'(x)=4x^3 \Rightarrow f''(x)=12x^2 \Rightarrow f'''(x)=24x$.
- כל שלב הוא גזירה רגילה – לא טכניקה חדשה, אלא יישום חוזר של אותה טכניקה.
- פשט את $f'$ לפני הגזירה החוזרת; זה שמר על האלגברה מסודרת.
עבור $f(x)=x^4$, מהי ערכה של $f'(x)$?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$f'=4x^3$, ואז $f''=12x^2$.
עבור $f(x)=x^3-2x^2+5x$, מצאו את $f'(x)=6x-4$. מצאו את $f'(2)$.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$f'(2)=6(2)-4=8$.
עבור $f(x)=x^3-2x^2+5x$, סמנו כל הגזירות הנכונות.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
גזרו צעד אחר צעד; האופציה הרביעית היא פישוט שגוי.
סימון לגזירות מסדר גבוה
- סימון ניקוד: $f''(x)$, $f'''(x)$, ואז $f^{(4)}(x)$ (מספרים מעבר לשלושה נקודות).
- סימון ליבניץ: $\dfrac{d^2y}{dx^2}$ לגזירה השנייה, $\dfrac{d^3y}{dx^3}$ לגזירה השלישית.
- קרא את $\dfrac{d^2y}{dx^2}$ כ"d-squared-y d-x-squared" – המשמעות היא "גזור את $y$ פעמיים." (הערה: המונח המקורי בסימון ליבניץ הוא d²y/dx², וקריאתו הידועה היא 'די-סקוואנד די-אי-די-אקס-סקוואנד').
- שני הסימונים הם בדיוק אותו דבר.
בסימון ליבניץ הגזירה השנייה של $y$ כתובה כ-$\dfrac{d^2 y}{dx^{\square}}$. המעלה $\square$ היא ____.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$\dfrac{d^2y}{dx^2}$.
מה הגזירה השנייה משמעת
- $f'$ הוא קצב השינוי של $f$; $f''$ הוא קצב השינוי של $f'$.
- אם $f$ היא מיקום, אזי $f'$ היא מהירות ו$f''$ היא תאוצה — עד כמה המהירות משתנה.
- הסימן של $f''$ מספר לך על כיוון הקערה (כיפוף כלפי מעלה או מטה), נדון בפרק 5.
- לכן גזירות מסדר גבוה אינן עבודה שוטפת – $f''$ נושא משמעות פיזיקלית אמיתית.
הגזירה השנייה $f'$ שווה ל-$(f')^2$.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$f'$ היא הגזירה של $f'$, ולא הריבוע שלה.
אם $f$ הוא מיקום, הגזירה השנייה $f'$ מייצגת...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$f'=$ מהירות, $f''=$ תאוצה.
$f''$ היא הגזירה של $f'$, ולא הריבוע של $f'$: $f''\neq(f')^2$. ויש להחיל את כללי השרשרת/מכפלה/מנה שוב בכל שלב – גזירת $f'=\sin(x^2)$ כדי לקבל $f''$ עדיין דורשת את כלל השרשרת. אל תשבתו את הכללים רק כי אתם בשלב השני.
מצאו את $f''(x)$ עבור $f(x)=x^3-2x^2+5x$.
- גזירה ראשונה: $f'(x)=3x^2-4x+5$.
- גזרו שוב: $f''(x)=6x-4$.
- (עוד אחד: $f'''(x)=6$, ו$f^{(4)}(x)=0$.)
גזירה מסדר גבוה מתקבלת על ידי גזירה חוזרת: $f''$ היא הגזירה של $f'$, וכך הלאה. כתבו אותם כ-$f''(x)$ / $\frac{d^2y}{dx^2}$, ועוד. הגזירה השנייה היא קצב השינוי של הגזירה הראשונה (למשל, תאוצה), והסימן שלה יספק תיאור לכיוון הקערה. המשיכו להחיל את כללי השרשרת/מכפלה/מנה בכל שלב.