גזירה של פונקציות טריגונומטריות הפוכות
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| inverse trigonometric functions/ɪnˈvɜːs ˌtrɪɡənəʊˈmetrɪk ˈfʌŋkʃnz/ | פונקציות טריגונומטריות הפוכות |
נגזרות המסתירות שורש
- פונקציות טריגונומטריות הפוכות — $\arcsin$, $\arctan$ וחבריה — מבטלות את הסין, הטנגנס וכו'.
- הנגזרות שלהן הן אלגבריות באופן מפתיע: אין בהן טריגונומטריה כלל, רק חזקות ושורשים.
- שתי מהן שווה לשנן ישירות; שאר הנגזרות עוקבות אחר אותו דפוס.
- פונקציות טריגונומטריות הפוכות אלו מופיעות באינטגרלים מאוחר יותר, כך שהיכרות עם הנגזרות שלהן משתלמת פעמיים.
שתי הנגזרות שחובה לדעת
- $\dfrac{d}{dx}[\arcsin x]=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$.
- $\dfrac{d}{dx}[\arctan x]=\dfrac{1}{1+x^2}$.
- שימו לב: $\arcsin$ מכילה שורש במכנה; $\arctan$ מכילה $1+x^2$ נקי.
- שתיהן חיוביות תמיד בתחומיהן — פונקציות ההפוך הללו הן עולות.
השיפוע העדין של הארקטנגנס
y = a·tanh(bx) (צורה דומה לארקטנגנס)
$\arctan x$ עולה במהירות הרבה ביותר ב-$0$ (שיפוע $1$) ומתשטח — הגזירה שלה $\tfrac{1}{1+x^2}$ מתקטנת לעבר $0$.
מהו $\dfrac{d}{dx}[\arcsin x]$?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
ל-$\arcsin$ יש את הצורה השורשית $\tfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$.
מהו $\dfrac{d}{dx}[\arctan x]$?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
ל-$\arctan$ יש את הצורה הנקייה $\tfrac{1}{1+x^2}$ (ללא שורש).
שאר המשפחה
- $\dfrac{d}{dx}[\arccos x]=-\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ — זהה ל-$\arcsin$ אך שלילי.
- $\dfrac{d}{dx}[\text{arccot}\,x]=-\dfrac{1}{1+x^2}$ — השלילי של $\arctan$'s.
- $\dfrac{d}{dx}[\text{arcsec}\,x]=\dfrac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}$.
- הפונקציות ההפוכות "קו-" כוללות מינוס, המזכיר את הדפוס הרגיל בטריגונומטריה.
$\dfrac{d}{dx}[\arccos x]$ היא ה____ של $\dfrac{d}{dx}[\arcsin x]$ (אותה גודל, סימן הפוך).
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$\arccos$ נושאת את הסימן המינוס.
בחרו את כולם הנגזרות של פונקציות טריגונומטריות הפוכות המכילות שורש.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$\arcsin$, $\arccos$ ו-arcsec מכילים שורשים; $\arctan$ הוא $\tfrac{1}{1+x^2}$ ללא שורש.
שרשרו אותן יחד
- עם כלל השרשרת, החליפו את $x$ בפונקציה פנימית $u$ והכפילו ב-$u'$.
- $\dfrac{d}{dx}[\arctan(3x)]=\dfrac{1}{1+(3x)^2}\cdot 3=\dfrac{3}{1+9x^2}$.
- $\dfrac{d}{dx}[\arcsin(x^2)]=\dfrac{1}{\sqrt{1-(x^2)^2}}\cdot 2x=\dfrac{2x}{\sqrt{1-x^4}}$.
- אותו שגרה כמו בכל בעיית כלל השרשרת: נוסחת החיצונית, ולאחר מכן $\times\,u'$.
עבור $y=\arctan(3x)$, $y'=\dfrac{3}{1+9x^2}$. מצאו את $y'$ ב-$x=0$.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
ב-$x=0$: $\tfrac{3}{1+0}=3$.
$\dfrac{d}{dx}[\arctan(3x)]=\dfrac{1}{1+9x^2}$ (ללא גורם פנימי).
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
כלל השרשרת מוסיף את הגזירה הפנימית $3$: $\tfrac{3}{1+9x^2}$.
אל תבלבו בין שתי הצורות: $\arcsin$ נותן $\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ (שורש), בעוד ש-$\arctan$ נותן $\frac{1}{1+x^2}$ (ללא שורש). ובכלל השרשרת, לעולם אל תשליחו את הנגזרת הפנימית: $\frac{d}{dx}[\arctan(3x)]=\frac{3}{1+9x^2}$, לא $\frac{1}{1+9x^2}$.
גזרו את $y=\arctan(x^2)$.
- חיצוני: $\arctan(u)$ עם $u=x^2$, התוצאה היא $\dfrac{1}{1+u^2}$.
- נגזרת פנימית: $u'=2x$.
- $y'=\dfrac{1}{1+(x^2)^2}\cdot 2x=\dfrac{2x}{1+x^4}$.
שינח $\frac{d}{dx}[\arcsin x]=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ ו-$\frac{d}{dx}[\arctan x]=\frac{1}{1+x^2}$. הפונקציות ההפוכות "co-" ($\arccos$, arccot) כוללות מינוס. עבור פונקציות טריגונומטריות הפוכות מורכבות, יש ליישם את כלל השרשרת — הנוסחה הסטנדרטית כפולה הנגזרת הפנימית $u'$.