חישוב גבולות באמצעות משפט המעטפת
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| Squeeze Theorem/skwiːz ˈθɪərəm/ | משפט הסחפה |
| inequality/ɪniːˈkwɒlɪti/ | אי-שוויון |
לכבות פונקציה בלתי צפויה בין שתי פונקציות רגילות
- ישנם גבולות העומדים בהתנגדות להצבה וגם לאלגברה — כמו $\displaystyle\lim_{x\to0}x^2\sin\tfrac1x$, המתנדנד במהירות אינסופית.
- הפתרון: לכבות את הפונקציה המסורבת בין שתי פונקציות ידידותיות יותר.
- אם הקירות העליון והתחתון שניהם שואפים לגובה זהה, לפונקציה הכבודה אין לאן אחרת ללכת.
- זהו משפט הסחיפה (נקרא גם משפט החול).
כלאי פונקציה בין שתי אחרות בעלות גבולות שווים משתמש ב________ המשפט.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
נקרא גם משפט הסנדוויץ' (Sandwich Theorem).
מה המשפט אומר
- נניח שבסמוך ל$c$ (מעטפת maybe ב$c$ עצמו) מתקיים $g(x)\le f(x)\le h(x)$.
- אם $\displaystyle\lim_{x\to c}g(x)=\lim_{x\to c}h(x)=L$, אז גם $\displaystyle\lim_{x\to c}f(x)=L$.
- הגבולות שני侧 סוחפים את $f$ לערך היחיד $L$.
- אתם צריכים שני דברים: אי-שוויון תקף בסמוך ל$c$, וגבולות שווים עבור הגבולות.
כדי להשתמש במשפט המעטפת עבור $f$ בסמוך ל$c$, אתה זקוק לכולם...
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
אתה זקוק לגבולות דו-צדדיים עם גבולות שווים, תקפים בסמוך ל$c$. $f$ אינו חייב להיות פולינום — זוהי המטרה כולה.
ההתנדדות הקלאסית
- $\sin\tfrac1x$ מתנדנד בין $-1$ ל$1$ לנצח כשה$x\to0$ — אין לו גבול לבדו.
- אבל כופלים ב$x^2$: מכיוון ש$-1\le\sin\tfrac1x\le1$, אנו מקבלים $-x^2\le x^2\sin\tfrac1x\le x^2$.
- שתי הקירות $\pm x^2 \to 0$ כ$x\to0$.
- לחוצו ביניהם, $\displaystyle\lim_{x\to0}x^2\sin\tfrac1x=0$.
הקיר המעטף $y=x^2$
y = ax²
הפרבולה $y=x^2$ והמראות שלה $-x^2$ נלחצות יחד לנקודה $0$ בראשית הערכים — כל דבר הכלואה ביניהן מחויב להגיע ל$0$.
בעזרת $-x^2\le x^2\sin\tfrac1x\le x^2$, מצא את $\displaystyle\lim_{x\to0}x^2\sin\tfrac1x$.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
שתי הקירות $\pm x^2\to 0$, ולכן הפונקציה הכלואה $\to 0$.
בדיקת ההגדרה באמת
- אי-השוויון צריך להתקיים רק קרוב ל$c$, לא בכל מקום — מרווח קטן סביב $c$ מספיק.
- הגבולות של התחומים חייבים להיות שווים; אם הקירות שואפים לגבהים שונים, המשפט אינו אומר דבר.
- שיטת הדחיסה היא הדרך הסטנדרטית להוכחת המפורסם $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1$, מתוך תחומים גיאומטריים $\cos x \le \frac{\sin x}{x}\le 1$.
- תמיד נסמו את שני פונקציות התחום במפורש — זה ליבת ההוכחה.
גבול מעל בלבד עבור $f$, יחד עם $f(x)\le h(x)$, מספיק כדי להחיל את משפט ההצפה (Squeeze Theorem).
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
אתה זקוק לגבולות משני הצדדים עם גבולות שווים — גבול אחד לא מוכיח כלום.
משפט ההצפה, בשילוב עם $\cos x\le\tfrac{\sin x}{x}\le 1$, נותן $\displaystyle\lim_{x\to0}\tfrac{\sin x}{x}=$
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
כאשר $x\to0$, $\cos x\to1$ והגבול העליון הוא $1$, לכן האמצע מוצף ל$1$.
אם הגבול התחתון שואף ל$2$ והגבול העליון שואף ל$5$, משפט ההצפה אומר שהגבול הכלוא הוא...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
הגבולות חייבים להיות בעלי גבולות שווים; קירות לא שווים אינם נותנים מסקנה.
משפט הדחיסה דורש שתחומים ידחסו משני הצדדים עם גבולות שווים. אם אתם מגבילים את $f$ רק מלמעלה ($f\le h$), או שהשני תחומים שואפים לערכים שונים, לא הוכחתם כלום. ואי-השוויון חייב להתקיים באמת קרוב ל$c$ — בדקו זאת, אל תניחו.
הראו $\displaystyle\lim_{x\to0}x^2\cos\tfrac1x=0$.
- לכל $x\neq0$: $-1\le\cos\tfrac1x\le1$.
- כפלו ב$x^2\ (\ge0)$: $-x^2\le x^2\cos\tfrac1x\le x^2$.
- $\displaystyle\lim_{x\to0}(-x^2)=0$ ו$\displaystyle\lim_{x\to0}x^2=0$.
- לפי משפט הדחיסה, הגבול האמצעי הוא גם $0$.
משפט החסימה: אם $g\le f\le h$ סמוך ל$c$ ו$\lim g=\lim h=L$, אז $\lim f=L$. השתמש בו כאשר פונקציה מתנודדת או דוחה שיטות ישירות — חסום אותה למעלה ולמטה על ידי פונקציות עם גבולים שווים, ודוק את האי-שוויון סמוך ל$c$, ו$f$ תהיה מחוסמת ל$L$.