הקדמה לק্যালקולוס: האם שינוי יכול להתרחש ברגע?
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| average rate of change/ˈævrɪdʒ reɪt ɒv tʃeɪndʒ/ | קצב שינוי ממוצע |
| slope/sləʊp/ | שיפוע |
| secant line/ˈsiːkənt laɪn/ | קו חותך |
| tangent line/ˈtændʒənt laɪn/ | קו משיק |
| instantaneous rate of change/ˌɪnstənˈteɪnɪəs reɪt ɒv tʃeɪndʒ/ | קצב שינוי מיידי |
| limit/ˈlɪmɪt/ | גבול |
| derivative/dɪˈrɪvətɪv/ | נזילת |
מה הקצב, כעת?
- מדד המהירות של הרכב שלך מציג $60\ \tfrac{\text{km}}{\text{h}}$ ברגע יחיד.
- אך מהירות היא מרחק ÷ זמן — וברגע יחיד, אין מעבר זמן ואין מרחך שנעבר.
- אז איך אפשר להיות עם מהירות ברגע יחיד?
- מענה לשאלה זו הוא הנקודה שבה קלקולוס מתחיל.
קצב שינוי ממוצע
- בתוך מרווח נתון, השינוי קל: זהו השינוי הכולל חלקי הזמן שעבר.
- זהו קצב השינוי הממוצע של פונקציה.
- בגרף זהו השיפוע של הישר הישר המחבר שני נקודות — ישר חותך.
- דוגמה: מ-$x=1$ עד $x=3$, קצב השינוי הממוצע הוא $\dfrac{f(3)-f(1)}{3-1}$.
שיפוע קו חוטך בין שני נקודות על עקומה נותן את ה...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
קו חוטך מחבר שתי נקודות, ולכן שיפועו הוא קצב השינוי הממוצע לאורך מרווח זה.
לחץ את שתי הנקודות יחד
- כעת הזז את הנקודה השנייה קרובה וקרובה יותר לנקודה הראשונה.
- ישר החותך מסתובב והופך לקרוב יותר רק לנגוע בעקומה בנקודה אחת.
- הישר הזה המגע הוא ישר המשיק.
כשהנקודה השניה זזה לעבר הנקודה הראשונה, קו החוטך מתקרב ל...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
הקטע המשיק מסתובב עד שהוא נוגע בעקומה בדיוק — הוא שואף למשיק.
הקצב המיידי של שינוי
- השיפוע של המשיק הוא הקצב המיידי של שינוי בנקודה זו.
- זהו קריאת המדוד — הקצב ברגע מדויק וספציפי.
- לגרף מיקום-זמן, זהו המהירות המיידית.
קצב ממוצע או קצב רגעי?
חלט האם כל כמות נמדדת לאורך מרווח או ברגע יחיד.
שיפוע הקו המשיק הוא קצב השינוי ____.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
הקו המשיק נוגע בנקודה אחת, ולכן שיפועו הוא קצב השינוי הרגעי שם.
אי אפשר למצוא את הקצב המיידי על ידי הצבת נקודה אחת — זה נותן $\tfrac{0}{0}$, שהוא לא מוגדר. צריך לראות מה הערך אליו הקצב הממוצע שואף כשהמרווח מתכווץ.
ניתן למצוא את קצב השינוי הרגעי על ידי הצבת נקודה אחת בנוסחת קצב הממוצע.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
זה נותן $\tfrac{0}{0}$, שהוא לא מוגדר. יש לקחת את הגבול כאשר המרווח מתכווץ לאפס.
המונח "שואף" הזה הוא גבול
- לעולם לא מחלקים באמת באפס; שואלים איזה ערך השיפוע שואף.
- ערך זה הוא גבול — הרעיון המרכזי בקלקולוס.
- הגבול של הקצב הממוצע של שינוי, כשהמרווח מתכווץ לאפס, נקרא נגזרת.
- כל היחידה הראשונה במסלול עוסקת בהקפדת רעיון זה.
בחר את כל ההצהרות האמיתיות על הגזירה בנקודה.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
הגזירה היא הגבול של קצבי שינוי ממוצעים כשהמרווח מתכווץ — משפיע המשיק, כלומר קצב השינוי המיידי.
גובה הכדור הוא $h(t) = 5t^2$ מטרים. הערכו את מהירותו ב$t=2$ שניות.
- הקצב הממוצע מ$t=2$ עד $t=2.1$: $\dfrac{h(2.1)-h(2)}{0.1} = \dfrac{22.05-20}{0.1} = 20.5\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}$.
- מ$t=2$ ל$t=2.01$: $\dfrac{20.2005-20}{0.01} = 20.05\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}$.
- הערכים מתקרבים ל$20\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}$ — גבול זה הוא המהירות המיידית.
גובה הכדור הוא $h(t)=5t^2$ מ'. הערך את מהירותו הרגעית ב-$t=2$ ש' (במ"/ש').
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
כשמצמצמים את המרווח, קצב הממוצע מתקרב ל$20\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}$ — גבול זה הוא המהירות הרגעית.
קצב שינוי ממוצע = שיפוע קוטע על מרווח. מתכווצים את המרווח לאפס והקוטע שואף למשיק, whose slope is the instantaneous rate of change. That limiting value is the derivative.