רדיוסים כוכביים
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| temperature/ˈtemprɪtʃə/ | טמפרטורה |
| Wien's displacement law/viːnz dɪˈspleɪsmənt lɔː/ | חוק ההזזה של ויין |
| Stefan-Boltzmann law/ˈstefən ˈbɒltsmən lɔː/ | חוק סטפן-בולצמן |
| blackbody/ˈblækbɒdi/ | גוף שחור |
| wavelength/ˈweɪvleŋθ/ | אורך גל |
| Stefan-Boltzmann constant/ˈstefən ˈbɒltsmən ˈkɒnstənt/ | קבוע סטפן-בולצמן |
אף טלסקופ לא יכול לראות כוכב כדיסק
- כל כוכב למעט השמש הוא נקודה גם בטלסקופ הגדול ביותר. הדיסק שלו קטן מדי כדי להיות פתור.
- עם זאת, רדיוס של כוכב אלפי שנות אור מרחוק הוא חישוב שוטף, והוא מבוצע משני דברים שניתן למדוד: הצבע והבהירות שלו.
- צבע נותן את טמפרטורת פני השטח. בהירות ומרחק נותנים את ההספק הכולל. שניים אלו יחד נותנים את הגודל.
- שיעור זה עוסק בחוק ההזזה של ויין ובחוק סטפן-בולצמן, ובשרשרת השלושה שלבים המקשרת ביניהם.
חוק ההזזה של ויין
- גוף חם פולט ספקטרום רציף של גוף שחור ששיאו נמצא באורך גל הנקבע על ידי טמפרטורתו:
- האורך הגל בו ה-עוצמה היא מקסימלית הוא יחס הפוך לטמפרטורה התרמודינמית. יש להגיד "אורך הגל בעל העוצמה המקסימלית", ולא רק "האורך הגל".
- הטמפרטורה חייבת להיות ב-קלווין, וחוק זה מתאר את שיאו של העקומה הרציפה, ולא קווי הספקטרליות.
- חמים יותר אומר כחול יותר: כוכב אדום קרוב ל$3000\ \text{K}$ שיא שלו באינפרא-אדום, השמש קרובה ל$5800\ \text{K}$ שיאה סביב $500\ \text{nm}$, וכוכב כחול-לבן קרוב ל$20000\ \text{K}$ שיאו באולטרה-סגול.
חם יותר, גבוה יותר, ומרחוק יותר שמאלה
כוכבים חמים יותר יש להם שיא ספקטרלי (חוק ויין) באורך גל ____.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$\lambda_{\max}T = b$, ולכן ערך גבוה יותר של $T$ משמעותו ערך נמוך יותר של $\lambda_{\max}$ — לכיוון הכחול.
איזה מהבאים שייך להצהרת חוק הזזת ויין? סמנו כל האפשרויות החלות.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
הדבר עוסק בשיא של העקומה הרציפה לגוף שחור, ולא בקווים. אמירה על "האורך הגל" לבדה לא תעניק נקודות; יש לומר את אורך הגל בעל העוצמה המקסימלית.
דוגמה מופת: חישוב טמפרטורת כוכב
- ספקטרום של כוכב מגיע לשיא ב$500\ \text{nm}$. מצאו את טמפרטורת המשטח שלו.
- $T = \dfrac{b}{\lambda_{\text{max}}} = \dfrac{2.90\times10^{-3}}{500\times10^{-9}} = 5800\ \text{K}$.
- המירו ננומטרים למטרים תחילה. הקבוע נתון במטר קלווין, ולכן אורך גל ב-nm יניב טמפרטורה שגויה פי $10^9$.
- מדידה אחת זו היא כל הסיבה לכך שהצבע של כוכב הוא שימושי: הצבע הוא הטמפרטורה.
ספקטרום של כוכב מגיע לשיא ב$\lambda_{\max} = 500\ \text{nm}$. מהי טמפרטורת פני השטח שלו? ($b = 2.9 \times 10^{-3}\ \text{m}\cdot\text{K}$)
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$T = \dfrac{b}{\lambda_{\max}} = \dfrac{2.9 \times 10^{-3}}{500 \times 10^{-9}} \approx 5800\ \text{K}$ — לגבי השמש.
התאם כל כוכב למקום בו ספקטרומו מגיע לשיא.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
ככל שהטמפרטורה גבוהה יותר, השיא קצר יותר. מדידה אחת זו היא הסיבה לכך שצבע הכוכב הוא פרמטר שימושי: צבע הוא טמפרטורה.
חוק סטפן-בולצמן
- התנהגו בכוכב ככדור גוף שחור ברדיוס $r$ בטמפרטורת משטח $T$:
- $\sigma$ הוא קבוע סטפן-בולצמן-.
- שתי תלות, והן שונות מאוד בעוצמתן. $L \propto r^2$: כפל הרדיוס, ארבע פעמיים האור (הלומינות). $L \propto T^4$: כפל הטמפרטורה, שש עשרה פעמיים הלומינות.
- לכן שגיאה קטנה בטמפרטורה היא שגיאה גדולה בלומינות, ולכן חובה לקרוא בזהירות את אורך הגל השיאי.
לומינוזיות ורדיוס של כוכב
L ∝ r²
עבור טמפרטורת פני שטח נתונה, הלומינוזיות של כוכב גדלה עם הריבוע של רדיוסו (חוק סטפן).
חוק סטפן-בולצמן נותן את הלומינוזיות של כוכב כ:
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$L = 4\pi\sigma r^{2}T^{4}$ — תלויה בחוזקה גם בקרן וגם בטמפרטורה.
באמצעות $L = 4\pi\sigma r^2T^4$, איזה מההצהרות הבאות נכון? סמן את כולם החלים.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
L פרופורציונלית ל-r^2 ול-T^4. העוצמה הרביעית הזו היא הסיבה לכך שחייב לקרוא בזהירות את אורך הגל הפיקסלי ולתקן בגלל הסז'ה אדום.
דוגמה מופת: הלומינות של כוכב דומה לשמש
- לכוכב יש רדיוס $7.0\times10^{8}\ \text{m}$ וטמפרטורת משטח $5800\ \text{K}$. מצאו את הלומינות שלו.
- $L = 4\pi\sigma r^2 T^4 = 4\pi(5.67\times10^{-8})(7.0\times10^{8})^2(5800)^4 = 3.9\times10^{26}\ \text{W}$.
- רבבו את הרדיוס והעלה את הטמפרטורה לרביעי. במחשבון, לבצע את $T^4$ כשלב נפרד ולבדוק את סדר הגודל שלו: $(5800)^4 \approx 1.1\times10^{15}$.
אם טמפרטורת של כוכב נכפלה (אותו רדיוס), הלומינוזיות שלו תכפיל ב:
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$L \propto T^{4}$, ולכן הכפלת $T$ מניבה $2^{4} = 16$ פעמים את הלומינוזיות.
אותיות זהה, כוכבים נגודיים
- מכיוון ש-$L$ תלוי גם ב-$r$ וגם ב-$T$, שני כוכבים שונים לחלוטין יכולים להיות בעלי אותיות זהה.
- ענק אדום הוא קר, ולכן ה-$T^4$ שלו קטן, אך הוא ענק, וה-$r^2$ פיצו על כך.
- ענף נשאר לבן הוא חם מאוד אך זעיר: ערך גדול של ⟨$T^4$⟩ מול ערך זעיר של ⟨$r^2$⟩.
- כל פעם שהתשובה נראית מפתיעה, בדוק זאת כך. כוכב עם ⟨$140$⟩ פעמים האותיות של השמש אך רק ⟨$1.6$⟩ פעמים החום חייב להיות משמעותית גדול יותר, מאחר ש-$L \propto r^2T^4$.
סדרו את שלושת השלבים להערכת רדיוס של כוכב.
Difficulty 3/5 · 200 coins + a small bonus on first completion today
כל שלב הוא שורה אחת. שמרו על דיוק מלא ב-L וב-T עד לסוף, משום שה-T מורם לעוצמה רביעית.
הערכת רדיוס, בשלושה צעדים
- אחד. מדד את ⟨$\lambda_{\text{max}}$⟩ וקבל את ⟨$T$⟩ מתוך חוק ויין.
- שניים. קבל את ⟨$L$⟩, לרוב מהזרימה והמרחק: ⟨$L = 4\pi d^2 F$⟩.
- שלושים. פתור את חוק סטפן-בולצמן עבור הרדיוס:
- כל צעד הוא שורה אחת. שמור על דיוק מלא של ⟨$L$⟩ ו-$T$⟩ עד הסוף, מכיוון ש-$T$ מוגבה לעוצמה הרביעית ועיגול מוקדם יקר.
שילוב חוק ויין וחוק סטפן-בולצמן מאפשר לנו להעריך את רדיוסו של כוכב.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
ויין מספק $T$, הזרם והמרחק מספקים $L$, ואז $r = \sqrt{\dfrac{L}{4\pi\sigma T^{4}}}$.
זרם הקרן השמשית הוא 1370 W/m^2 במרחק של 1.50e11 m, וספקטרום השמש פוקס ב-500 nm. מהו רדיוס השמש, ביחידות של 1e8 m?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
L = 4 pi d^2 F = 3.87e26 W, T = 5800 K, ואז r = sqrt(L / (4 pi sigma T^4)) = 6.9e8 m בהשוואה לערך המקובל של 6.96e8 m. שלושה נוסחאות בשורה אחת, ללא צורך ברזולוציית טלסקופ.
דוגמה מפורטת: רדיוס השמש, מאפס
- אור שמש על כדור הארץ יש לו פלוקס $1370\ \text{W/m}^2$ ב$1.50\times10^{11}\ \text{m}$, והספקטרום של השמש מגיע לשיא ב$500\ \text{nm}$. העריכו את רדיוס השמש.
- אותיות: ⟨$L = 4\pi d^2 F = 4\pi(1.50\times10^{11})^2(1370) = 3.87\times10^{26}\ \text{W}$⟩.
- חום: ⟨$T = 2.90\times10^{-3}/(500\times10^{-9}) = 5800\ \text{K}$⟩.
- רדיוס: ⟨$r = \sqrt{\dfrac{3.87\times10^{26}}{4\pi(5.67\times10^{-8})(5800)^4}} = 6.9\times10^{8}\ \text{m}$⟩.
- הערך המקובל הוא ⟨$6.96\times10^{8}\ \text{m}$⟩. שלושה נוסחאות בשורה אחת, ללא צורך ברזולוציית טלסקופ.
ב-$L = 4\pi\sigma r^2T^4$ וב-$F = L/(4\pi d^2)$, האורכים $r$ ו-$d$ הם אותו דבר.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
r הוא רדיוסו של הכוכב עצמו; d הוא המרחק שלו ממנו. החלפתם היא השגיאה הנפוצה ביותר בנושא זה, והם שונים זה מזה בכמה ערכי סדר גדולה.
סימונים נופלים מהיד
- חוק ויין עוסק באורך גל של עוצמה מקסימלית, ו-$T$ חייב להיות ב-קלווין.
- המר ⟨$\lambda_{\text{max}}$⟩ ל-מטר; הקבוע ⟨$b$⟩ הוא במטר קלווין.
- ב$L = 4\pi\sigma r^2T^4$, $r$ הוא רדיוס הכוכב; ב$F = L/(4\pi d^2)$, $d$ הוא המרחק אלינו. שני אורכים שונים, והחלפתם היא הטעות הנפוצה ביותר בנושא זה.
- שמרו על הדיוק המלא עד השורה האחרונה, כי $T$ הוא בחזקה רביעית.
- עבור גלקסיה נסוגת, יש לתקן את שיא הנצפה לפני השימוש בחוק ויין, אלא_page הטמפרטורה תצא נמוכה מדי.
הבנתך מושלמת
- חוק ההזזה של ויין: אורך הגל של עוצמה מקסימלית פרופורציוני הפוך לטמפרטורה התרמודינמית, $\lambda_{\text{max}}T = 2.90\times10^{-3}\ \text{m K}$
- סטפן-בולצמן: $L = 4\pi\sigma r^2T^4$, ולכן הלומינוזיטי (הבהירות) עולה עם ה-ריבוע של הרדיוס ועם ה-חמישי של הטמפרטורה
- רדיוס נכנס בשלושה שלבים: $\lambda_{\text{max}} \to T$, ואז $F$ ו$d \to L$, ואז $r = \sqrt{L/(4\pi\sigma T^4)}$
- שמרו על $r$ (הכוכב) ו$d$ (אלנו) נפרדים, והחזיקו בדיוק מלא עד הסוף בגלל ה$T^4$