פוטנציאל חשמלי
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| electric potential/ɪˈlektrɪk pəˈtenʃl/ | פוטנציאל חשמלי |
| scalar/ˈskeɪlə/ | גודל סקלרי |
| electric potential energy/ɪˈlektrɪk pəˈtenʃl ˈenədʒi/ | אנרגיה פוטנציאלית חשמלית |
| infinity/ɪnˈfɪnɪti/ | אינסוף |
| potential gradient/pəˈtenʃl ˈɡreɪdɪənt/ | גרדינט פוטנציאל |
| bound/baʊnd/ | קשור |
הגרף שמשיב לארבעה שאלות בו-זמנית
- שאלת מבחן נפוצה משרטטת את הפוטנציאל החשמלי לאורך הקו בין שני כדורים טעונים ושואלת ארבע דברים: הסימנים של המטענים, היכן השדה הוא אפס, היחס בין המטענים, והכוח על מטען שנמוק בנקודה.
- כולם ארבעה נובעים מאותו עקומה, מכיוון שפוטנציאל הוא סקלרי שמ просто מתחבר, והשדה הוא ה-גרדיאנט של הגרף.
- למד לקרוא תמונה אחת זו, וכל מחלקה של שאלות הופכת לשגרתית.
- שיעור זה עוסק ב-פוטנציאל חשמלי, בקשר שלו עם השדה וב-אנרגיית פוטנציאל חשמלית.
הגדרת הפוטנציאל
- ה-פוטנציאל החשמלי בנקודה נתונה הוא ה-עבודה המבוצעת ליחידת מטען חיובי בהכנסת מטען מבחן קטן מ-אינסוף לנקודה זו:
- שתי הנקודות: עבודה ליחידת מטען חיובי, ו-מאינסוף לנקודה. הפוטנציאל הוא אפס באינסוף, מה שהופך את ההגדרה למוגדרת היטב.
- עבור מטען מקור חיובי $V > 0$ בכל מקום מחוץ אליו, מכיוון שעל לעבוד על מטען מבחן חיובי כדי לדחוף אותו לתוך השדה נגד הדחייה. עבור מטען מקור שלילי $V < 0$.
הפוטנציאל החשמלי בנקודה הוא העבודה ליחידת מטען כדי להביא מטען חיובי מ:
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
כמו הפוטנציאל הכבידתי, הוא נמדד מאינסוף, שבו הפוטנציאל נחשב לאפס.
האם להגדרת הפוטנציאל החשמלי (ששווה לשני נקודות) דרושים אלמנטים מסוימים? סמן את כל האפשרויות הנכונות.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
ליחידת מטען חיובי, ומאינסוף. העובדה שהפוטנציאל מתאפס באינסוף היא מה שהופכת את ההגדרה למוגדרת היטב; מצב המנוחה אינו חלק ממנה.
פוטנציאל של מטען נקודתי
- שימו לב ל-$\dfrac{1}{r}$, שבו ה-שדה משתנה לפי $\dfrac{1}{r^2}$. הבדל זה הוא העובדה שנבדק הכי הרבה בנושא.
- $V$ הוא סקלרי. עבור מספר מטענים, חברו את הפוטנציאלים עם הסימנים שלהם: אין צורך בכיוונים או בפירוק, רק סכום.
עקומה מעל הציר או מתחת לו, תלוי רק בסימן של Q
פוטנציאל חשמלי
V = kQ / r
פוטנציאל ∝ 1/r סביב מטען — תלול בסמוך אליו, ומתחלק.
הפוטנציאל החשמלי בסמוך למטען נקודתי משתנה ביחס ל-1/r.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
כן — $V = \dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r}$ משתנה לפי $1/r$, בעוד השדה משתנה לפי $1/r^{2}$.
כדי למצוא את הפוטנציאל בנקודה כלשהי בשל מספר מטענים, יש לחבר את הפוטנציאלים הבודדים עם סימניהם.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
הפוטנציאל הוא גודל סקלרי, ולכן אין צורך בפירוק. לעומת זאת, השדות חייבים להיות מחוברים כווקטורים עם כיוונים.
השדה הוא מינוס גרדיאנט הפוטנציאל
- השדה בנקודה שווה ל-מינוס גרדיאנט הפוטנציאל שם:
- הסימן השלילי אומר שהשדה מצביע כלפי פוטנציאל נמוך: מטען חיובי המשתחרר בשדה "רוץ" למטה ב-$V$.
- בשדה אחיד הפוטנציאל יורד בצורה רציפה, ולכן הגרדיאנט הוא קבוע והמשוואה מצטמצמת ל-$E = V/d$, שהוא התוצאה ללוחות מקבילים מהשיעורים הקודמים.
- במעשה: כדי לקבל את השדה מ-$V$ נגד גרף של $x$, יש לשרטט משיק ולקחת את מינוס הגרדיאנט שלו.
השדה החשמלי שווה למינוס הנגזרת של הפוטנציאל ____ (E = −dV/dx).
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
השדה מצביע "מטה" בפוטנציאל, לכיוון V נמוך יותר.
כיצד מוצאים את השדה החשמלי מתוך גרף של פוטנציאל כנגד מרחק?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
E = -dV/dx. הסימן השלילי מראה שהשדה מצביע לעבר פוטנציאל נמוך יותר, ובשדה אחיד הגרדיאנט הקבוע נותן E = V/d.
דוגמה פתורה: קריאת גרף שני הכדורים
- הפוטנציאל לאורך הקו בין הכדורים X ו-Y, $1.2\ \text{m}$ מהם, הוא חיובי בכל מקום ויש לו מינימום ב-$0.50\ \text{m}$ מ-X. נסחו שלוש מסקנות.
- שני המטענים הם חיוביים, מכיוון שהפוטנציאל חיובי בכל מקום לאורך הקו.
- השדה אפס ב-$x = 0.50\ \text{m}$, כי ה-משיק אפס שם ו-$E = -dV/dx$.
- Y נושאת מטען גדול יותר, מכיוון נקודת השדה האפס נמצאת קרוב יותר ל-X. באופן כמותי $Q_{\text{Y}}/Q_{\text{X}} = (0.70/0.50)^2 = 2.0$.
- אם במקום זאת העקומה חוצה את האפס, המטענים יהיו ניגודיים, ובכך היחס יגיע מ-$Q_{\text{X}}/x = Q_{\text{Y}}/(d-x)$, ללא הריבוע.
הפוטנציאל בין שני כדורים הוא חיובי בכל מקום עם מינימום בקרבת הכדור X. אילו מסקנות נובעות מכך? סמן את כל האפשרויות המתאימות.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
מינימום ב-V הוא שם הגרדיאנט, ולכן גם השדה, הם אפס; נקודה זו נמצאת קרוב יותר למטען הקטן. הפוטנציאל שם הוא מינימום ולא אפס, לכן qV אינו אפס גם הוא.
אנרגיה פוטנציאלית חשמלית
- מטען $q$ הנמצא בנקודה בעלת פוטנציאל $V$ יש לו אנרגיה פוטנציאלית חשמלית $E_{\text{P}} = qV$. עבור שני מטענים נקודתיים:
- מטענים דומים נותנים אנרגיה פוטנציאלית חיובית: בשחרור, הם מתרחקים זה מזה. מטענים ניגודיים נותנים אנרגיה שלילית, מערכת קשורה, ועלינו לבצע עבודה כדי להרחיק אותם לאינסוף.
- זהו אותו דוגמה לאנרגיה פוטנציאלית כבידתית, שהיא תמיד שלילית מכיוון שכבידה תמיד מושכת.
מעל הציר הם יתרחשו; מתחת לו הם קשורים
אנרגיית הפוטנציאל החשמלי של מטען $q$ בנקודת פוטנציאל $V$ היא:
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$E_{\text{P}} = qV$; עבור שני מטענים נקודתיים זה מתגלם ל$\dfrac{Qq}{4\pi\varepsilon_0 r}$.
לשני מטענים מנוגדים יש אנרגיית פוטנציאל חשמלית שלילית (מערכת קשורה).
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
PE שלילי אומר שעליה לספק אנרגיה כדי להרחיק אותם זה מזה — הם קשורים, כמו אלקטרון וגרעין.
לשני מטענים מנוגדים יש אנרגיית פוטנציאל חשמלית שלילית, ולכן המערכת מתוארת כ____.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
עליה לבצע עבודה כדי להפריד ביניהם לאינסוף, שם האנרגיה היא אפס. למטענים בעלי סימן זהה יש אנרגיה חיובית ואם ישוחררו הם יתנופו רחוק זה מזה.
חשמל וכבידה, לצד זה
| כבידה | חשמל | |
|---|---|---|
| כוח | $F = \dfrac{Gm_1m_2}{r^2}$ | $F = \dfrac{Q_1Q_2}{4\pi\varepsilon_0 r^2}$ |
| שדה | $g = \dfrac{GM}{r^2}$ | $E = \dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}$ |
| פוטנציאל | $\phi = -\dfrac{GM}{r}$ | $V = \dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r}$ |
- צורות זהות בכל מקום. ההפרש היחיד: למסה יש סימן אחד ולכן כבידה תמיד מושכת ו-$\phi$ תמיד שלילי, בעוד שמטען יש לו שני סימנים ולכן הגדלים החשמליים יכולים להיות חיוביים או שליליים.
התאם כל גודל לכיצד הוא משתנה בהתאם למרחק ממטען נקודתי.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
השדה הוא הפוך-ריבוע; הפוטנציאל הוא הפוך (דרגת r אחת פחות תלולה).
דוגמה מפורטת: תאר את התנועה
- מטען חיובי ממוקם בנקודה P על הקו בין שני הכדורים ומשוחרר. תאר והסבר את תנועתו.
- הוא נע לעבר פוטנציאל נמוך יותר, כלומר, למטה במדרגה של גרף ה-$V$, כי השדה מצביע לכיוון זה והכוח על מטען חיובי הוא לאורך השדה.
- הכוח, ולכן גם התאוצה, אינם קבועים: הם שווים ל-$-q\,dV/dx$, והמשיק משתנה לאורך הקו.
- הוא מתאיץ בכל מקום בו הוא נע לפוטנציאל נמוך יותר, ורוכש אנרגיה קינטית השווה ל-$q\Delta V$ שאבד באנרגיה פוטנציאלית.
סימונים נופלים מהיד
- הפוטנציאל הוא $\dfrac{1}{r}$; השדה הוא $\dfrac{1}{r^2}$. ודאו לפני ההצבה מה בדיוק נדרש בשאלה.
- ההגדרה מחייבת על יחידת מטען חיובי ו-מאינסוף. העובדה שהערך אפס באינסוף היא בסיס ההגדרה.
- פוטנציאלים מתחברים כ-סקלרים עם סימנים; שדות חשמליים מתחברים כ-ווקטורים. לעולם אין לפצל פוטנציאלים לרכיבים.
- שדה אפס נמצא שם שבו ל-graf $V$ יש שיפוע אפס, ולא שם שבו ה-$V$ עצמו אפס. בין מטענים מנוגדים העקומה חוצה את אפס בעוד השיפוע אינו אפס.
הבנתך מושלמת
- פוטנציאל חשמלי הוא העבודה המבוצעת על יחידת מטען חיובי בהכנסת מטען מבחנה קטן מאינסוף; הוא אפס באינסוף, חיובי בסמוכה למטען חיובי
- $V = \dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r}$ משתנה כמו $\dfrac{1}{r}$ והוא סקלר, ולכן מספר מטענים מתחברים עם סימנים
- $E = -\dfrac{dV}{dx}$: השדה הוא מינוס שיפוע הפוטנציאל, ולכן שדה אפס פירושו שיפוע אפס, ובשדה אחיד זה נותן $E = V/d$
- אנרגיה פוטנציאלית חשמלית $E_{\text{P}} = qV = \dfrac{Qq}{4\pi\varepsilon_0 r}$: חיובית עבור מטענים דומים, שלילית עבור מטענים מנוגדים, שנחשבים קשורים