דגימה והערכה
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| sample/ˈsæmpl/ | דוגמה |
| population/ˌpɒpjʊˈleɪʃn/ | אוכלוסייה |
| stratified/ˈstrætɪfaɪd/ | שכבת |
| systematic/ˌsɪstəˈmætɪk/ | שיטתי |
| cluster/ˈklʌstə/ | קבוצתי |
| sampling distribution/ˈsæmplɪŋ ˌdɪstrɪˈbjuːʃn/ | התפלגות דגימה |
| standard error/ˈstændəd ˈerə/ | שגיאה סטנדרטית |
| Central Limit Theorem/ˈsentrəl ˈlɪmɪt ˈθɪərəm/ | משפט המעבר המרכזי |
| confidence interval/ˈkɒnfɪdəns ˈɪntəvl/ | רווח אמון |
המחקר שהנבא את הבחירות
- סקר של 1000 אנשים יכול לחזות את התנהגות ההצבעה של 60 מיליון איש. איך?
- דגימה מאפשרת לך להסיק מסקנות על אוכלוסייה שלמה ממערכון קטן ומועדף בקפידה. המתמטיקה העומדת מאחוריו היא הבסיס לכל הסטטיסטית ההסקית.
אוכלוסיות ודגימות
- אוכלוסייה היא הקבוצה כולה שברצונך ללמוד. דגימה היא מערכון קטן מהאוכלוסייה.
- דגימה טובה דורשת אקראיות – לכל חבר בקבוצה חייב להיות ידוע הסיכוי לבחירה.
- שיטות דגימה: דגימה אקראית פשוטה, דגימה שכבתית (פרופורציונלית מכל תת-קבוצה), דגימה מערכתית (כל $k$ איבר), דגימת אשכולות.
דגימה שכבתית. בבית ספר ישנם 600 בנים ו-400 בנות. דגימה שכבתית בגודל 50: $\dfrac{600}{1000} \times 50 = 30$ בנים ו$\dfrac{400}{1000} \times 50 = 20$ בנות.
ממוצע הדגימה הוא כמעט נורמלי ללא קשר לצורת האוכלוסייה
התפלגות הדגימה
X̄ ~ N(μ, σ²/n)
על פי משפט הגבול המרכזי, ממוצעי דגימה נשחזרים לפי עקומה נורמלית — הצרה יותר לדגימות גדולות יותר.
בבית ספר ישנם 600 בנים ו-400 בנות. דגימה שכבתית של 50 תלמידים דורשת כמה בנים?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
(600/1000) × 50 = 30 בנים.
חלוקת הדגימה של הממוצע
- הממוצע מהדגימה $\bar{X}$ הוא בעצם משתנה אקראי:
- הטעות הסטנדרטית של הממוצע היא $\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$ — היא מצטמצמת כאשר $n$ גדלה.
סטטיסטיקה לומדת על אוכלוסייה שלמה מתוך דגימה
לאוכלוסיה יש σ = 8. עבור דגימה בגודל n = 64, מהי Var(X̄) = σ²/n?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Var(X̄) = σ²/n = 64/64 = 1.
לאוכלוסיה יש σ = 10 ו-n = 25. מהו השגיאה התקנית σ/√n = ?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
σ/√n = 10/√25 = 10/5 = 2.
התאם כל רעיון דגימה למשמעות שלו.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
השערת המרכזית הגדולה גורמת לממוצעי דוגמה להיות חלוקה נורמלית; התפזרותם היא σ²/n, מה שמוביל לרווח הסמך.
משפט הגבול המרכזי
- לפי משפט הגבול המרכזי, עבור דגימה גדולה ($n \geq 30$), $\bar{X}$ הוא בקירוב נורמלי, ללא קשר לצורת האוכלוסייה.
- זהו אחד התוצאות החזקות ביותר בכל המתמטיקה — הוא מאפשר לנו להשתמש בחלוקה הנורמלית גם כאשר הנתונים אינם נורמליים.
CLT חל על הממוצע, לא על הנתונים. משפט הגבול המרכזי קובע שהחלוקה של $\bar{X}$ הופכת לנורמלית — לא הנקודות הנתון היחידיות. הנתונים הגולמיים יכולים להיות בכל צורה.
רווח ביטחון של 95% משתרע ל-1.96 שגיאות סטנדרטית משני צדי ממוצע הדגימה
על פי משפט הגבול המרכזי, ממוצע הדגימה הוא בקירוב נורמלי לדגימה גדולה, ללא תלות בצורת האוכלוסיה.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
משפט הגבול המרכזי גורם לכך ש-X̄ יהיה בקירוב נורמלי ככל שהגודל של הדגימה גדל.
משפט הגבול המרכזי אומר שנקודות הנתונים הבודדות הופכות להתפלגות נורמלית בדגימות גדולות.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
משפט הגבול המרכזי חל על ממוצע הדגימה X̄, ולא על נקודות הנתונים הבודדות. הנתונים ההתאומיים יכולים להיות בכל צורה.
רווחי ביטחון
- רווח ביטחון מספק טווח שעלול להכיל את הממוצע האמיתי.
- עבור אוכלוסייה נורמלית עם $\sigma$ ידוע (או דגימה גדולה), רוחב ביטחון של 95% הוא:
- מתוך דגימה אקראית מצאו הערכות ללא שיפוע של הממוצע והוואריאנס ('ללא שיפוע' = נכון במידת הממוצע), וכן רווח ביטחון לפרופורציה באוכלוסייה; מספרים אקראיים עוזרים לבחירת הדגימה.
דוגמה בגודל n = 64 יש לה σ = 8. מהו שגיאת הסמך 1.96 × σ/√n לרווח ביטחון של 95%? (2 ספרות אחרי הנקודה)
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
1.96 × 8/√64 = 1.96 × 8/8 = 1.96.
הבנתך מושלמת
- $E(\bar{X}) = \mu$, $\text{Var}(\bar{X}) = \dfrac{\sigma^2}{n}$; CLT גורם לכך ש-$\bar X$ ≈ נורמלי עבור $n$ גדול
- מרווח סבירות ב-95%: $\bar{x} \pm 1.96\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$
- דגימה איכותית דורשת אקראיות