צירופים ליניאריים של משתנים אקראיים
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| variance/ˈveərɪəns/ | שונות |
| linear combination/ˈlɪnɪə ˌkɒmbɪˈneɪʃn/ | שילוב ליניארי |
| random variable/ˈrændəm ˈveərɪəbl/ | משתנה אקראי |
| linear transformation/ˈlɪnɪə trænsfɔːˈmeɪʃn/ | טרנספורמציה ליניארית |
| independent/ˌɪndɪˈpendənt/ | בלתי תלוי |
המתמטיקה של שילוב
- אם ידוע לך הממוצע והשונות של שני תהליכים נפרדים, מה קורה כשמוסיפים אותם יחד?
- שילובים ליניאריים מאפשרים לחזות את התנהגותם של משתנים אקראיים משולבים — חיוני לשליטה באיכות, פיננסים והנדסה.
מעבדת צירוף ליניארי
E(aX + b) = aE(X) + b
שנה מקדם סקינה וראה כיצד הערך הצפוי מתרחב.
טרנספורמציות ליניאריות של משתנה יחיד
- למשתנה יחיד שנשתנה לפי כלל ליניארי:
דוגמה מופעלת. $E(X) = 5$, $\text{Var}(X) = 4$. נתון כי $Y = 3X + 2$. $E(Y) = 3(5) + 2 = 17$. $\text{Var}(Y) = 3^2(4) = 36$.
הקבוע $b$ נעלם מהשונות. הוספת קבוע מזזה את הממוצע אך אינה משנה את התפוצץ. $\text{Var}(X + 5) = \text{Var}(X)$, ולא $\text{Var}(X) + 25$.
התפלגות פואסון Po(3); התקווית והשונות שלה שוות ל-lambda
X יש ממוצע 5. מהי E(3X − 1)?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
E(3X − 1) = 3E(X) − 1 = 3×5 − 1 = 14.
X יש שונות 4. מהי Var(3X − 1)?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Var(3X − 1) = 3²×Var(X) = 9×4 = 36 (ה-1− אין השפעה).
ברמת Var(aX + b), הקבוע b:
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
הוספת קבוע מזיזת את הנתונים אך אינה משנה את התפוצץ, לכן b נפלט.
שני משתנים בלתי תלויים
- הערה: שונות תמיד מתווספת (גם עבור $X - Y$), כי $(-1)^2 = 1$.
X ו-Y בלתי תלויות. Var(X) = 4, Var(Y) = 9. מהו הערך של Var(X + Y)?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y) = 4 + 9 = 13 (שונות מצטברת עבור משתנים בלתי תלויים).
X ו-Y בלתי תלויות. Var(X) = 4, Var(Y) = 9. מהו הערך של Var(X − Y)?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Var(X − Y) = Var(X) + (−1)²Var(Y) = 4 + 9 = 13. השונות תמיד מצטברת.
התפלגויות במסגרת סיכומים ליניאריים
- אם $X$ היא נורמלית, גם $aX + b$ תהיה נורמלית; סכום של נורמליים בלתי תלויים הוא נורמלי.
- סכום של פואסונים בלתי תלויים הוא פואסוני: אם $X \sim \text{Po}(\lambda_1)$ ו-$Y \sim \text{Po}(\lambda_2)$, אזי $X + Y \sim \text{Po}(\lambda_1 + \lambda_2)$.
אם X ~ Po(3) ו-Y ~ Po(5) הן בלתי תלויות, אזי X + Y ~ Po(8).
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
הסכום של משתני פואסון בלתי תלויים הוא משתנה פואסון עם פרמטר λ₁ + λ₂ = 3 + 5 = 8.
דוגמה מופעלת — שילוב נורמליים
- $X \sim N(10, 4)$ ו-$Y \sim N(20, 9)$ בלתי תלויים. מצאו את ההתפלגות של $X + Y$.
- $E(X + Y) = 10 + 20 = 30$. $\text{Var}(X + Y) = 4 + 9 = 13$.
- ולכן $X + Y \sim N(30, 13)$.
- סיכומים ליניאריים של התפלגויות נורמליות הם נורמליים; סכומים של התפלגויות פואסון בלתי תלויים הם פואסוניים.
הבנתך מושלמת
- $E(aX+b) = aE(X) + b$; $\text{Var}(aX+b) = a^2\,\text{Var}(X)$ (ה-$b$ יורד, ה-$a$ מ-רובע)
- בלתי תלויים: $\text{Var}(aX+bY) = a^2\text{Var}(X) + b^2\text{Var}(Y)$
- נורמלית נשארת נורמלית תחת כלל ליניארי; סכומים של פואסונים בלתי תלויים הם פואסוניים