החלוקה הפואסונית
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| Poisson distribution/ˈpɔɪsn ˌdɪstrɪˈbjuːʃn/ | התפלגות פואסון |
| interval/ˈɪntəvl/ | מרווח |
| mean/miːn/ | ממוצע |
| variance/ˈveərɪəns/ | שונות |
| overdispersion/ˌəʊvədɪˈspɜːʃn/ | פיזור יתר |
| parameter/pəˈræmɪtə/ | פרמטר |
תור האין-סופי
- לקוחות מגיעים לחנות בקצב ממוצע של 3 לדקה. מהי ההסתברות שדיוק 5 לקוחות יגיעו בדקה הבאה?
- התפלגות פואסון מדגמת אירועים נדירים הקוראים בקצב קבוע — משיחות טלפון ועד דעיכה רדיואקטיבית.
התפלגות פואסון
- $X \sim \text{Po}(\lambda)$ מדגם את מספר האירועים המקריים בתוך פרק זמן קבוע בקצב $\lambda$:
דוגמה מפורטת. שיחות מגיעות בקצב של $\lambda = 4$ לשעה. P(דיוק 2 שיחות) $= e^{-4} \dfrac{4^2}{2!} = 0.0183 \times \dfrac{16}{2} = 0.1465$.
אנשים מגיעים באופן אקראי לתור והתפלגותם היא פואסון
החלוקה הפואסונית
X ~ Po(λ)
הפואסונה סופרת אירועים אקראיים במרווח זמן. הממוצע והווארינס שלה הם שניהם λ.
עבור X ~ Po(3), מצאו P(X = 2) = e⁻³ × 3²/2!. תנו את התשובה ל-3 מקומות עשרוניים.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
P(X=2) = e⁻³ × 9/2 = 0.0498 × 4.5 ≈ 0.224.
עבור X ~ Po(2), P(X = 0) = e⁻². מצאו זאת (3 מקומות עשרוניים).
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
P(X=0) = e⁻² × 2⁰/0! = e⁻² = 0.1353 ≈ 0.135.
התאימו כל רעיון פואסוני לתוצאה המתאימה.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
לפיחוס פואסון, הממוצע והשונות הם שניהם ⟦lambda⟧.
מאפייני פואסון
- למשתנה פואסון, הממוצע והשונות שווים שניהם ל$\lambda$: $E(X) = \text{Var}(X) = \lambda$.
- מאפיין זה ייחודי – אין התפלגות רגילה אחרת בעלת תכונה זו.
לפני Po(3) הממוצע והשונות הם שניהם 3; העמודות מייצגות את P(X = k).
הממוצע שווה לשונות הוא המבחן. אם לנתונים שלך יש ממוצע ≈ שונות, ייתכן שהמודל הפואסוני מתאים. אם השונות גדולה משמעותית מהממוצע, האירועים אינם בלתי תלויים (פיזור יתר) והפואסון אינו נכון.
עבור X ~ Po(3), מהו הממוצע של X?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
עבור משתנה פואסוני, הממוצע שווה ל-λ = 3 (וכך גם הווארינס).
עבור X ~ Po(3), מהו הווארינס של X?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
עבור משתנה פואסוני, הווארינס שווה גם הוא ל-λ = 3.
עבור חלוקה פואסונית, הממוצע והווארינס תמיד שווים זה לזה.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
זוהי תכונה מוגדרת של החלוקה הפואסונית: E(X) = Var(X) = λ.
קירוב פואסון להתפלגות בינומית
- הפואסון מקרב את הבינומית כאשר $n$ גדול ו$p$ קטן.
- השתמש ב$\lambda = np$ כפרמטר הפואסוני.
- דוגמה: $B(200, 0.01) \approx \text{Po}(2)$.
X ~ B(200, 0.01). קרובו עם פואסון: λ = np. מצאו את λ.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
λ = np = 200 × 0.01 = 2.
דוגמה מופעלת — קירוב
- $X \sim B(100, 0.02)$. קרב באמצעות פואסון: $\lambda = np = 100 \times 0.02 = 2$.
- $P(X = 0) \approx e^{-2} \dfrac{2^0}{0!} = e^{-2} = 0.1353$.
- ההתפלגות הנורמלית מקרבת את ההתפלגות הבינומית (עם תיקון רציפות) כאשר זה מתאים.
הבנתך מושלמת
- פואסון: $P(X = r) = e^{-\lambda}\dfrac{\lambda^r}{r!}$
- ממוצע וגם שונות שווים בדיוק ל-$\lambda$
- מקרב את הבינומית עבור $n$ גדול, $p$ קטן (השתמש ב$\lambda = np$)