משתנים מקריים דיסקרטיים
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| discrete random variable/dɪˈskriːt ˈrændəm ˈveərɪəbl/ | משתנה אקראי בדיד |
| expectation/ekspɪkˈteɪʃn/ | צפוי |
| variance/ˈveərɪəns/ | שונות |
| probability distribution/ˌprɒbəˈbɪlɪti ˌdɪstrɪˈbjuːʃn/ | התפלגות סיכומית |
| binomial distribution/baɪˈnəʊmɪəl ˌdɪstrɪˈbjuːʃn/ | התפלגות דו-מונחית |
| trial/ˈtraɪəl/ | ניסוי |
| geometric distribution/ˌdʒiːəʊˈmetrɪk ˌdɪstrɪˈbjuːʃn/ | התפלגות גיאומטרית |
הכובע המטעון
- קוביית משחק הוגנת נותנת לכל פנים probability $\dfrac{1}{6}$. אך מה אם הקובייה מוטה? כל תוצאה עדיין יש לה probability, אך אלו אינן שוות.
- משתנה אקראי בדיד מחייב probability לכל תוצאה אפשרית — זו הבסיס של מודלים סטטיסטיים.
משתנים אקראיים בדידים
- משתנה אקראי בדיד $X$ לוקח ערכים נפרדים, כל אחד עם probability (הם סכומם 1).
- צפוי (מוצע): $E(X) = \sum x\,P(X = x)$.
- שונות: $\text{Var}(X) = \sum x^2\,P(X = x) - \big(E(X)\big)^2$.
דוגמה מופת. $X$ מקבל ערכים 1, 2, 3 עם הסתברויות 0.2, 0.5, 0.3. $E(X) = 1(0.2) + 2(0.5) + 3(0.3) = 0.2 + 1.0 + 0.9 = 2.1$. $E(X^2) = 1(0.2) + 4(0.5) + 9(0.3) = 0.2 + 2.0 + 2.7 = 4.9$. $\text{Var}(X) = 4.9 - 2.1^2 = 4.9 - 4.41 = 0.49$.
הסתברויות חייבות לסכום ל-1. לפני חישוב התוחלת או השונות, תמיד ודא שהסכום הוא $\sum P(X = x) = 1$. אם לא, ההתפלגות האלמנטרית אינה תקינה.
ההתפלגות דו-אגראפית
X ~ B(n, p)
כל עמודה מייצגת את הסיכון ל-k הצלחות. שינו n ו-p והציבו לבחון את השינוי ב-תוחלת np.
בטבלת התפלגות הסתברות, ההסתברויות חייבות להסכום ל-1.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
התפלגות תקופית היא כל התפלגות שבה כל ההסתברויות מסכמות ל-1.
X קובע ערכים 1, 2, 3 עם P = 0.2, 0.5, 0.3. E(X) = ΣxP(X=x). מצאו אותו.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
1(0.2) + 2(0.5) + 3(0.3) = 0.2 + 1.0 + 0.9 = 2.1.
אם E(X) = 2.1 ו-E(X²) = 4.9, Var(X) = E(X²) − (E(X))². מצאו אותו.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Var(X) = 4.9 − 2.1² = 4.9 − 4.41 = 0.49.
התאם כל רעיון דו-מונחאי לתוצאה המתאימה לו.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
למשפחה דו-מונחאית יש מספר קבוע של ניסויים n עם הסתברות קבועה p; הממוצע שלה הוא np והשונות היא np(1−p).
ההתפלגות דו-איברית
- דו-איברית $X \sim B(n, p)$ — מספר הצלחות ב$n$ ניסויים עצמאיים:
- $P(X = r) = \dbinom{n}{r}p^r(1-p)^{n-r}$
- $E(X) = np$, $\text{Var}(X) = np(1-p)$.
כל עמודה מייצגת P(X = r) עבור B(10, 0.3); ההתפלגות מגיעה לשיא בצפוי np = 3.
עבור X ~ B(10, 0.3), מהי E(X) = np?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
E(X) = np = 10 × 0.3 = 3.
עבור X ~ B(10, 0.3), מהי Var(X) = np(1−p)?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Var(X) = np(1−p) = 10 × 0.3 × 0.7 = 2.1.
ההתפלגות גיאומטרית
- גיאומטרית — מספר הניסוי של ההצלחה הראשונה:
- $P(X = r) = (1-p)^{r-1}p$
- $E(X) = \dfrac{1}{p}$.
עבור התפלגות גיאומטרית עם p = 0.2, E(X) = 1/p. מצאו אותה.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
E(X) = 1/p = 1/0.2 = 5. בממוצע, ההצלחה הראשונה מתרחשת בניסוי 5.
דוגמה מפורטת — דו-איברית
- $X \sim B(10, 0.3)$. מצאו ⟨$P(X = 2)$⟩ ו⟨$E(X)$⟩.
- $P(X = 2) = \dbinom{10}{2}(0.3)^2(0.7)^8 = 45 \times 0.09 \times 0.0576 = 0.233$.
- $E(X) = np = 10 \times 0.3 = 3$.
הבנתך מושלמת
- $E(X) = \sum x\,P(X=x)$; $\text{Var}(X) = \sum x^2 P(X=x) - (E(X))^2$
- דו-איברית $B(n,p)$: ⟨$E = np$⟩, ⟨$\text{Var} = np(1-p)$⟩
- גיאומטרית: הצלחה ראשונה בניסוי ⟨$r$⟩, ⟨$E = \dfrac1p$⟩