פרמוטציות וקומבינציות
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| permutation/ˌpɜːmjuːˈteɪʃn/ | היפוך |
| combination/ˌkɒmbɪˈneɪʃn/ | שילוב |
| factorial/fækˈtɔːrɪəl/ | פאקטוריאל |
| multiplication principle/ˌmʌltɪplɪˈkeɪʃn ˈprɪnsɪpl/ | עיקרון הכפל |
כמה דרכים לסדר מדף ספרים?
- יש לך 10 ספרים וה你想要的 לבחור 3 להציג. כמה דרכים? אם הסדר חשוב, זהו פרמוטציה. אם רוצים רק כל 3, זהו קומבינציה.
- טכניקות ספירה הן הבסיס של ההסתברות — הן מופיעות בכל מקום, מאחזרות לוטו ועד אבטחת סיסמאות.
מעבדה לפרמוטציה או קומבינציה
בחר האם סדר חשוב במשהו ספירה.
פרמוטציות (סדר חשוב)
- פרמוטציה היא סידור שבו סדר חשוב: ${}^nP_r = \dfrac{n!}{(n-r)!}$.
- דוגמה: סידור 3 ספרים מתוך 10: ${}^{10}P_3 = \dfrac{10!}{7!} = 10 \times 9 \times 8 = 720$.
דוגמה מפורטת. כמה קודים consisting of 3 אותיות ניתן ליצור מ-26 אותיות (ללא חזרה)? ${}^{26}P_3 = 26 \times 25 \times 24 = 15\,600$.
פרמוטציות: 3 ספרים נסדרים ב-3 × 2 × 1 = 6 סידורים שונים
בקומבינציה, סדר הפריטים הנבחרים:
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
קומבינציות אינן לוקחות בחשבון סדר; פרמוטציות מונוות סדר.
כמה דרכים לסדר 3 ספרים מתוך 10 על מדף (¹⁰P₃)?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
¹⁰P₃ = 10!/(10-3)! = 10!/7! = 10 × 9 × 8 = 720.
קומבינציות (סדר לא חשוב)
- קומבינציה היא בחירה שבה סדר לא חשוב: ${}^nC_r = \dbinom{n}{r} = \dfrac{n!}{r!\,(n-r)!}$.
- דוגמה: בחירת 3 ספרים מתוך 10: ${}^{10}C_3 = \dfrac{10!}{3!\,7!} = \dfrac{720}{6} = 120$.
פרמוטציה לעומת קומבינציה. בחירת וועדה consisting of 3 מתוך 10 אנשים היא קומבינציה (סדר לא חשוב). בחירת נשיא, סגן נשיא ומזכרת מתוך 10 היא פרמוטציה (סדר חשוב — התפקידים שונים).
הסדר חשוב בהפרעה, אך לא בקומבינציה
כמה דרכים לבחור 2 מתוך 5 (⁵C₂)?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
⁵C₂ = 5!/(2!3!) = 120/(2×6) = 10.
⁵P₃ גדול מ-⁵C₃.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
⁵P₃ = 60 (סדר חשוב), ⁵C₃ = 10 (סדר לא חשוב). פרמוטציות תמיד ≥ קומבינציות.
סידורים עם חזרות
- כדי לסדר מילה עם אותיות חוזרות, יש לחלק על פקטוריל של כל מספר החזרות.
- דוגמה: המילה NEEDLESS מכילה 8 אותיות, כולל 3 E ו-2 S: הסידורים הם $= \dfrac{8!}{3!\,2!} = \dfrac{40320}{12} = 3360$.
כמה סידורים יש באותיות של NEEDLESS? (8 אותיות: E×3, S×2 → 8!/(3!2!))
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
8!/(3!2!) = 40320/(6×2) = 40320/12 = 3360.
עקרון הכפלה
- אם אפשר לבחור אופנה אחת ב-$m$ דרכים ואופנה שנייה ב-$n$ דרכים, השילוב שלהן ניתן לביצוע ב-$m \times n$ דרכים.
- דוגמה: 3 חולצות ו-4 מכנסיים → $3 \times 4 = 12$ הלבשות.
יש לך 3 חולצות ו-4 מכנסיים. כמה הלבשות אפשר ליצור?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
3 × 4 = 12 הלבשות (עקרון הכפל).
הבנתך מושלמת
- הפרעה (הסדר חשוב): ${}^nP_r = \dfrac{n!}{(n-r)!}$
- קומבינציה (הסדר אינו חשוב): ${}^nC_r = \dfrac{n!}{r!(n-r)!}$
- אותיות חוזרות: לחלק $n!$ בכל פקטוריל של חזרה (NEEDLESS → $\dfrac{8!}{3!\,2!}$)