ווקטורים

ניווט ב-3D

• לווייני GPS מעקבים אחר המיקום שלך בשלושה מימדים. מטוסים מבצעים ניווט באמצעות כיוון, קליעה וסטייה.
• וקטורים הם המתמטיקה של כיוון וגודל במרחב — חיוניים לפיזיקה, הנדסה וגרפיקה מחשבית.

וקטורים ב-3D

• לוקטור יש גודל וכיוון: $\mathbf{v} = x\mathbf{i} + y\mathbf{j} + z\mathbf{k}$.
• גודל $|\mathbf{v}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$; וקטור יחיד בעל גודל 1.

כוחות כמו רוח ומים הם וקטורים, עם גודל וכיוון

משוואות וקטוריות של קווים

• קו העובר דרך הנקודה $\mathbf{a}$ בכיוון $\mathbf{b}$: $\mathbf{r} = \mathbf{a} + t\mathbf{b}$.
• קווים יכולים להיות מקבילים (אותו כיוון), נחתכים (שיתוף נקודה) או א-סקיו (שלא).

המכפלה הסקלרית (נקודתית)

• כלומר $\mathbf{a}\cdot\mathbf{b} = 0$ מעיד על כך שהוקטורים הם אנכיים.
• משתמשים בה כדי למצוא את הזווית בין שני וקטורים: $\cos\theta = \dfrac{\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}}{|\mathbf{a}||\mathbf{b}|}$.

המכפלה הסקלרית נותנת את הזווית: a·b = |a||b|cos θ, ולכן cos θ = (a·b)/(|a||b|).

דוגמה מופת — זווית בין וקטורים

• $\mathbf{a} = \mathbf{i} + 2\mathbf{j} + 2\mathbf{k}$, $\mathbf{b} = 2\mathbf{i} + \mathbf{j} - 2\mathbf{k}$.
• $\mathbf{a}\cdot\mathbf{b} = 2 + 2 - 4 = 0$. לכן $\mathbf{a}$ ו$\mathbf{b}$ הם אנכיים ($\theta = 90^{\circ}$).

allow_no_figure: וקטורים הם מהותם ב-3D וקשה לייצג אותם בבירור בתרשים סטטי ב-2D — הסימון האלגברי והדוגמאות המפורשות ממחישות את הרעיונות בצורה יעילה.

• השתמש בוקטורי מיקום, וקטורי הזזה ובוקטורי יחיד; משפט היחס מחלק קו ביחס נתון.

הבנתך מושלמת