גזירה (Pure 3)
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| derivative/dɪˈrɪvətɪv/ | גזירה |
| inverse tangent/ɪnˈvɜːs ˈtændʒənt/ | טנגנס הפוך |
| chain rule/tʃeɪn ruːl/ | חוק השרשרת |
| parametric/ˌpærəˈmetrɪk/ | פרמטרי |
| product rule/ˈprɒdʌkt ruːl/ | כלל המכפלה |
| reciprocal/rɪˈsɪprəkl/ | הופך |
| implicit differentiation/ɪmˈplɪsɪt ˌdɪfəˌrenʃɪˈeɪʃn/ | גזירה אינפיניטסימלית |
הנגזרת שהשלמה את המעגל
- אתה מכיר את הנגזרות של $\sin$, $\cos$, $\tan$, $e^x$ ו-$\ln x$. Pure 3 מוסיף עוד אחת: טנגנס הפוך.
- יחד, נגזרות סטנדרטיות אלו מאפשרות לך לגזור כל שילוב של פונקציות אלמנטריות.
סקירה של שיטות Pure 2
- השיטות הן של Pure 2: כלל הכפלה, מנה ושרשרת, לצד עקומים פרמטריים ואינפיציטיים.
- אלו הכלים הבסיסיים ביותר בגזירה — שלט בהם ותוכל להתמודד עם כל בעיה.
דוגמה פותרת. $y = x^2 e^{3x}$. כלל הכפלה עם $u = x^2$, $v = e^{3x}$: $\dfrac{dy}{dx} = 2x \cdot e^{3x} + x^2 \cdot 3e^{3x} = e^{3x}(2x + 3x^2)$.
z במשוואת ארגנד: המודולוס הוא המרחק, הארגומנט היא הזווית, המספר המרוכב המצומד הוא ההשתקפות
השיפוע בנקודה
שיפוע = dy/dx
לא משנה האם הגזירה היא גזירה מפורשת או סמויה, ה-גזירה עדיין מייצגת את שיפוע המשיק — הזיזו את הנקודה כדי לראות זאת.
גזירה ב-Pure 3 עדיין משתמשת בכללי הכפל, המנה והשרשרת מ-Pure 2.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
כללים אלו מקבלים מעבר; רק גזירת הפונקציה tan⁻¹ היא חדשה.
אם y = x²e^(3x), אזי dy/dx = e^(3x)(2x + 3x²). בנקודה x = 0, dy/dx = ?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
בנקודה x = 0: e⁰(0 + 0) = 1 × 0 = 0.
הנגזרת של טנז'נס הפוך
- נגזרת סטנדרטית חדשה אחת:
- היא מופיעה באינטגרציה (הפועל הנוגד) ובבעיות קצב משתנה תלוי.
$\tan^{-1}x$ אינו שווה ל $\dfrac{1}{\tan x}$**. הסימון $\tan^{-1}x$ מייצג את הפונקציה ההפוכה (ארכטנז), ולא את ההפך. ההפך הוא $\cot x$.
הגזירה של tan⁻¹x היא 1/(1+x²). מה ערכה בנקודה x = 1?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
1/(1 + 1²) = 1/2 = 0.5.
מה הגזירה של tan⁻¹x בנקודה x = 0?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
1/(1 + 0²) = 1/1 = 1.
tan⁻¹x פירושו 1/tan x.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
tan⁻¹x היא הפונקציה ההפוכה (arctan), ולא ההופכי. ההופכי הוא cot x.
גזירה סתומה בהשבה
- למשוואות כמו $x^2 + y^2 = 25$, גזרו כל איבר ביחס ל$x$.
- כאשר נתקלים במונה $y$, יישמו את חוק השרשרת: $\dfrac{d}{dx}(y^2) = 2y\dfrac{dy}{dx}$.
- לאחר מכן פתרו עבור $\dfrac{dy}{dx}$.
allow_no_figure: עיון בחומר שמעמיק שיטות גזירה מPure 2 (חוק מכפלה, חוק מנה, חוק שרשרת) עם נגזרת חדשה אחת — ללא הצגת מושגים ויזואליים חדשים.
דוגמה מפורטת — גזירה סתומה
- מצאו $\dfrac{dy}{dx}$ עבור $x^2 + xy + y^2 = 7$.
- גזרו: $2x + y + x\dfrac{dy}{dx} + 2y\dfrac{dy}{dx} = 0$.
- אספו איברים עם $\dfrac{dy}{dx}$: $(x + 2y)\dfrac{dy}{dx} = -(2x + y)$.
- $\dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{2x + y}{x + 2y}$.
- גזרו קשרים הנתונים סתום או פרמטרית.
בעת גזירה אי-מפורשת של y² לפי x, מתקבל:
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
על פי כלל השרשרת: d/dx(y²) = 2y · dy/dx.
הבנתך מושלמת
- השתמשו בחוק המכפלה / חוק המנה / חוק השרשרת מ-Pure 2
- הנגזרת החדשה: $\dfrac{d}{dx}\tan^{-1}x = \dfrac{1}{1 + x^2}$
- עדיין מטפל בקמטי פרמטריים וסתומים באותו אופן