לוגריתמים, טריגונומטריה ושיטות מספריות (Pure 3)
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| logarithm/ˈlɒɡərɪθəm/ | לוגריתם |
| exponential equation/ˌekspəˈnenʃl ɪˈkweɪʒn/ | משוואה אקספוננציאלית |
| decay/dɪˈkeɪ/ | דעיכה |
| linearise/ˈlɪnɪəraɪz/ | ליניאריזציה |
| convergence/kənˈvɜːdʒəns/ | התכנסות |
יצירה על בסיס מה שידוע לך
- Pure 3 אינה מציגה רעיונות חדשים לחלוטין — היא מעמיקה ומרחיבה את המיומנויות מ-Pure 2.
- לוגריתמים, טריגונומטריה ושיטות מספריות חוזרות עם בעיות קשות יותר ואפליקציות עשירות יותר.
לוגריתמים בחזרה
- חוקי הלוגריתם עם $e^x$ ו-$\ln x$ חוזרים בהקשרים קשים יותר: פתרון משוואות אקספוננציאליות, דגום גידול ודעיכה, והישרת נתונים.
- מיומנות מרכזית: כאשר הנעלם הוא במעלה, לקחת לוגריתם משני האגפים.
דוגמה מופת. פתר $5e^{2x} = 30$. חלק: $e^{2x} = 6$. קח $\ln$: $2x = \ln 6$, ולכן $x = \dfrac{\ln 6}{2} \approx 0.896$.
קו r = a + t b: התחל ב-a, ולאחר מכן הזז ב-t כפול הכיוון b
מה ערך הביטוי ln(e³)?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
ln ו-e הם פונקציות הפוכות, לכן ln(e³) = 3.
פתור 5e^(2x) = 30 עבור x (2 ספרות אחרי הנקודה).
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
e^(2x) = 6, ולכן 2x = ln 6, x = (ln 6)/2 ≈ 0.896 ≈ 0.90.
טריגונומטריה בחזרה
- $\sec^2\theta \equiv 1 + \tan^2\theta$, $\csc^2\theta \equiv 1 + \cot^2\theta$.
- נוסחות זווית כפולה ושומה, ואת צורת ה-$R$ של $a\sin\theta + b\cos\theta$.
- זהויות אלו הן חיוניות לאינטגרציה ופתרון משוואות טריגונומטריות.
אל תבלבל בין הזהויות. $\sec^2\theta \equiv 1 + \tan^2\theta$ (סימן פלוס), לא $1 - \tan^2\theta$. הסימן נובע מחלוקת $\sin^2\theta + \cos^2\theta \equiv 1$ ב-$\cos^2\theta$.
המעגל היחידתי
(cos θ, sin θ)
הנוסחת R מכתבת ביטוי a sin θ + b cos θ כגל אחד — והכל נמצא על המעגל הזה.
בשימוש בזהות sec²θ ≡ 1 + tan²θ, אם tan θ = 3, מה ערך sec²θ?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
sec²θ = 1 + 3² = 1 + 9 = 10.
sec²θ ≡ 1 − tan²θ.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
הזהות הנכונה היא sec²θ ≡ 1 + tan²θ (חיבור, לא חיסור).
שיטות מספריות חוזרות
- שינוי סימן ללכידת שורש, ולאחר מכן נוסחת איטרציה $x_{n+1} = F(x_n)$.
- התכנסות דורשת $|F'(x)| < 1$ קרוב לשורש.
allow_no_figure: סקירה של שיעור המעמיק את כישורי Pure 2 (לוגריתמים, טריגונומטריה, שיטות מספריות) — ללא הצגת מושגים ויזואליים חדשים.
שורש מספרי נמצא באמצעות שינוי סימן, ולאחר מכן חזרה על:
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
איטרציה מיישמת x_{n+1} = F(x_n) עד שהערכים מתכנסים לשורש.
דוגמה פותרת — יישום נוסחת R
- לבטא את $3\sin\theta + 4\cos\theta$ בצורה $R\sin(\theta + \alpha)$.
- $R = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$. $\tan\alpha = \dfrac{4}{3} \Rightarrow \alpha \approx 53.1^{\circ}$.
- ולכן $3\sin\theta + 4\cos\theta = 5\sin(\theta + 53.1^{\circ})$.
- הערך המקסימלי הוא $5$ (כאשר $\sin(\theta + 53.1^{\circ}) = 1$).
- גרף של $\ln y$ מול $x$ נותן קו שבו שיפוע ו-חיתוך עם ציר Y מאפשרים למצוא את הקבועים (בשימוש במעריכים ובפונקציות הפוכות); יש להכיר את פונקציות הסינון ההפוכות סקנט, קוסקנט, קוטנגנס; ואת איטרציה $x_{n+1}=F(x_n)$ המראה התכנסות לשורש.
עבור 3 sin θ + 4 cos θ = R sin(θ + α), מהי R?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
R = √(3² + 4²) = √25 = 5.
הבנתך מושלמת
- 3.2 לוגריתמים, 3.3 זהויות/נוסחות זוויות בטריגונומטריה, 3.6 שיטות מספריות = כישורי Pure 2
- השתמש ב-$\sec^2\theta \equiv 1 + \tan^2\theta$ וב-נוסחת R כמו קודם
- מצא שורשים באמצעות שינוי סימן ולאחר מכן איטרציה $x_{n+1} = F(x_n)$