אלגברה (טוהר 3)
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| partial fractions/ˈpɑːʃl ˈfrækʃnz/ | שוברים חלקיים |
| rational function/ˈræʃənl ˈfʌŋkʃn/ | פונקציה רציונלית |
| factorise/ˈfæktəraɪz/ | פירוק לגורמים |
| repeated factor/rɪˈpiːtɪd ˈfæktə/ | גורם כפול |
| irreducible quadratic/ɪrɪˈdjuːsɪbl kwɒˈdrætɪk/ | ריבועי לא פירוק |
| binomial expansion/baɪˈnəʊmɪəl ekˈspænʃn/ | פיתוח בינומי |
פיצול של בלתי ניתן לפיצול
- לא ניתן לבצע אינטגרציה ישירה של $\dfrac{1}{x^2 - 1}$. אך ניתן לפצל אותו ל-$\dfrac{1}{2(x-1)} - \dfrac{1}{2(x+1)}$ וכל חלק יהיה לוגריתם פשוט.
- פרוצדורות חלקיות הופכות פונקציות רציונליות מורכבות לחלקים פשוטים — חיוני לאינטגרציה ולפיתוח סדרות.
פרוצדורות חלקיות
- שבר עם מכנה מפוקטור המפצל לשברים פשוטים יותר:
- הדבר הופך את הפונקציה הרציונלית לקלה לאינטגרציה או לפיתוח.
דוגמה מפורשת. $\dfrac{x+4}{(x+1)(x-2)} = \dfrac{A}{x+1} + \dfrac{B}{x-2}$. כפל לכל האגפים: $x+4 = A(x-2) + B(x+1)$. הצבת $x = -1$: $3 = -3A \Rightarrow A = -1$. הצבת $x = 2$: $6 = 3B \Rightarrow B = 2$. תוצאה: $\dfrac{2}{x-2} - \dfrac{1}{x+1}$.
המכפלה הסקלרית מדדת עד כמה b מצביא לאורך a: |b| cos theta
עקומים היפוכיים
y = a/(x − b) + c
פירוק למשברים פרטיים מפצל שבר מורכב לחלקים היפוכיים פשוטים — לכל אחד מהם יש אסימפטורה אנכית ואסימפטורה אופקית.
בעת הכתיבה (x+4)/((x+1)(x−2)) = A/(x+1) + B/(x−2), הצב x = 2 כדי למצוא את B.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
עבור x = 2: 2 + 4 = B(2 + 1), כלומר 6 = 3B, ולכן B = 2.
פירוק למשברים פרטיים מקל על אינטגרציה של פונקציה רציונלית.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
כל שבר פשוט מתאיץ ללוגריתם, ולכן פירוק מראש הופך את האינטגרציה לקלה.
גורמים חזרה וגורמים ריבועיים
- גורם חוזר $(cx+d)^2$: דורש $\dfrac{B}{cx+d} + \dfrac{C}{(cx+d)^2}$.
- ריבועי בלתי ניתן לפירוק $(x^2 + a^2)$: דורש $\dfrac{Bx + C}{x^2 + a^2}$.
אל תשכחו את איבר הגורם החוזר. $\dfrac{1}{x(x+1)^2} = \dfrac{A}{x} + \dfrac{B}{x+1} + \dfrac{C}{(x+1)^2}$. פסילת איבר ה-$\dfrac{C}{(x+1)^2}$ היא טעות נפוצה.
דמות חג
עבור 1/(x(x+1)²), צורת הפירוק למשברים פרטיים כוללת:
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
גורם חוזר (x+1)² דורש גם את האיברים B/(x+1) וגם C/(x+1)².
פיתוח בינומי לחזרות רציונליות
- עובד עבור שברים/שליליים $n$ כאשר $|x| < 1$:
- e.g. $(1+x)^{1/2} = 1 + \tfrac12 x - \tfrac18 x^2 + \cdots$
הפתחות הבינומית (1+x)ⁿ עבור n שברתי או שלילי תקפה רק כאשר:
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
עבור חזרות שאינן שלמות אי-חיוביות, הסדרה מתכנסת רק עבור |x| < 1.
בהתפתחות (1+x)^(1/2), המקדם של x² הוא n(n-1)/2! כאשר n=1/2. מצאו אותו.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
(1/2)(1/2 - 1)/2 = (1/2)(-1/2)/2 = -1/8 = -0.125.
דוגמה מופת — אינטגרציה בשביריות חלקיות
- $\displaystyle\int \frac{x+4}{(x+1)(x-2)}\,dx = \int\left(\frac{2}{x-2} - \frac{1}{x+1}\right)dx = 2\ln|x-2| - \ln|x+1| + C$.
allow_no_figure: טכניקה אלגברית (פירוק לשביריות חלקיות) — התוכן הוויזואלי הוא הפעולה האלגברית עצמה, ולא תרשים.
- השתמש במשפט הגורמים ובמשפט השארית: חלוקה של פולינום נותנת מנה ושארית.
∫ 2/(x-2) dx = 2 ln|x-2| + C. ב-x = 3, מהו 2 ln|x-2| (עד 2 ספרות אחרי הנקודה)?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
2 ln|3-2| = 2 ln(1) = 2 × 0 = 0.
הבנתך מושלמת
- שביריות חלקיות מפצלות פונקציה רציונלית לאינטגרציה/פיתוח
- התאם את הצורה למכנה (גורם חוזר → תוספת $\dfrac{C}{(cx+d)^2}$)
- הבינומיאל עובד עבור רציונלי $n$ כאשר $|x| < 1$