פתרון מספרי של משוואות
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| root/ruːt/ | שורש |
| numerical method/njuːˈmerɪkl ˈmeθəd/ | שיטה מספרית |
| accuracy/ˈækjʊrəsi/ | דיוק |
| sign change/saɪn tʃeɪndʒ/ | שינוי סימן |
| iteration/ˌɪtəˈreɪʃn/ | איטרציה |
| converge/kənˈvɜːdʒ/ | התכנסות |
| iterative formula/ˈɪtərətɪv ˈfɔːmjʊlə/ | נוסחה איטרטיבית |
| rearrangement/ˌriːəˈreɪndʒmənt/ | מניפולציה אלגברית |
| diverge/daɪˈvɜːdʒ/ | התכנסות |
השורש שלא ניתן לראות
- ישנם משוואות שאין להן פתרון אלגברי מסודר. $x^3 + x - 1 = 0$ לא ניתן לפיתוח לגורמים.
- אך ידוע שיש שורש בין $0$ ל$1$ מכיוון שהפונקציה משנה סימן. שיטות נומריות מאפשרות למצוא אותו בדיוק כלשהו.
מיקום שורש
- מספר משוואות אינן ניתנות לפתרון מדויק. שורש הוא פתרון.
- שינוי סימן: אם $f(a)$ ו$f(b)$ הם בעלי סימנים מנוגדים (ולא יש קטיע ביניהם), שורש נמצא בין $a$ ל$b$.
דוגמה מופרדת. $f(x) = x^3 + x - 1$. $f(0) = -1$ (שלילי), $f(1) = 1$ (חיובי). שינוי סימן → שורש בין $0$ ל$1$.
שינוי סימן אינו מבטיח שורש יחיד בדיוק. ייתכן שישנם 3 שורשים (או כל מספר אי-זוגי) בין $a$ ל-$b$. שינוי הסימן מעיד רק על כך שקיים לפחות שורש אחד.
איטרציה: צעד למעלה לעומק העקומה ומאוזנת ל-y = x; הצעדים מתכנסים לשורש
איפה שורש המשוואה?
y = ax³ + bx² + cx + d
שורש הוא הנקודה בה הגרף חוצה אפס. שינוי סימן ב-f(x) לוכד שורש בין שני ערכי x.
אם f(a) ו-f(b) הם בעלי סימנים מנוגדים (וגם f רציפה ביניהן), אז בין a לבין b קיים:
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
שינוי סימן של פונקציה רציפה מבטיח קיום של שורש בין a לבין b.
f(x) = x³ + x − 1. f(0) = −1 ו-f(1) = 1. בין שני המספרים השלמים האלו נמצא השורש?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
שינוי סימן בין 0 ל-1 (f(0) < 0, f(1) > 0), ולכן השורש נמצא בין 0 ל-1.
איטרציה
- סדר מחדש את המשוואה בצורה $x = F(x)$.
- השתמש בנוסחת האיטרציה $x_{n+1} = F(x_n)$ מהניחוש הראשון $x_0$.
- אם הערכים מתייצבים, הם מתכנסים לשורש. המשך עד שהערך יציב ברמת הדיוק הנדרשת.
איטרציה: החל מ$x_0$, כל צעד מחייב $F$ ומשקף ב$y = x$. העכביש מתרוסק לתוך הנקודה היציבה — השורש.
פורמולה איטרטיבית היא בצורה:
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
איטרציה מיישמת חזרה ושוב את x_{n+1} = F(x_n) מתחזוקה ראשונית.
אם ערכי האיטרציה מתבססים על מספר יציב, הם התכנסו לשורש.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
התכנסות משמעותה שהרצף שואף לערך קבוע — שורש המשוואה.
בשימוש ב-x_{n+1} = ∛(1 − x_n) כאשר x₀ = 0, מהו x₁ (2 ספרות אחרי הנקודה)?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
x₁ = ∛(1 − 0) = ∛1 = 1.
דוגמה מופרדת — איטרציה
- פתר $x^3 + x - 1 = 0$ באמצעות $x_{n+1} = \sqrt[3]{1 - x_n}$, החל מ$x_0 = 0.5$.
- $x_1 = \sqrt[3]{0.5} = 0.794$, $x_2 = \sqrt[3]{0.206} = 0.591$, $x_3 = \sqrt[3]{0.409} = 0.742$, ...
- הערכים מתכנסים ל$x \approx 0.682$.
איטרציה x_{n+1} = F(x_n) תתכנס תמיד ללא תלות בערך ההתחלתי.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
התכנסות דורשת |F′(x)| < 1 בסביבת השורש. פירוקים לא מתאימים או ערכי התחלה גרועים עלולים לגרום להתפצפות.
בחירת סידור מחדש
- לא כל הסידורים מתכנסים. האיטרציה $x_{n+1} = F(x_n)$ מתכנסת כאשר $|F'(x)| < 1$ קרוב לשורש.
- אם היא מתפשטת (הערכים מתרחקים), נסה סידור מחדש אחר.
הבנתך מושלמת
- שינוי סימן של $f$ בין $a$ ל-$b$ נכלא שורש ביניהם
- איטרציה: $x_{n+1} = F(x_n)$ מתחלתי מניח משערי התחלה
- אם הערכים מתכנסים (מתקבעים), הם שואפים לשורש
- התכנסות דורשת $|F'(x)| < 1$ קרוב לשורש