אינטגרציה (Pure 2)
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| integral/ˈɪntɪɡrəl/ | אינטגרל |
| exponential function/ˌekspəˈnenʃl ˈfʌŋkʃn/ | פונקציה מעריכית |
| differential equation/ˌdɪfəˈrenʃl ɪˈkweɪʒn/ | משוואה דיפרנציאלית |
| trapezium rule/trəˈpiːzɪəm ruːl/ | כלל הטרפז |
| strip/strɪp/ | רצועה |
| estimate/ˈestɪmət/ | הערכה |
| identity/aɪˈdentɪti/ | זהות |
השטח שאינו יכול להימלט ממנו eˣ
- האינטגרל של $e^x$ הוא $e^x$ — אותה פונקציה. התכונה ההיסתורית הזו הופכת את הפונקציות האקספוננציאליות למרכזיות במשוואות דיפרנציאליות.
- טכניקות אינטגרציה מאפשרות לכם לחשב שטחים, נפחים ופתרונות לבעיות מעולם האמת.
אינטגרלים סטנדרטיים
דוגמה מפורטת. $\int e^{3x}\,dx = \dfrac{1}{3}e^{3x} + C$. ה$\dfrac{1}{3}$ נובע מהפעלת כלל השרשרת בכיוון הפוך.
אל תשכחו את ה$\dfrac{1}{a}$. באינטגרציה של $e^{ax+b}$, עליכם לחלק ב$a$. האינטגרל של $e^{2x}$ הוא $\dfrac{1}{2}e^{2x}$, ולא $e^{2x}$.
חוק הטרפז מוסיף רצועות בעלות קצה ישר ברוחב ⟦h⟧ כדי להעריך את השטח
השטח תחת העקומה
שטח = ∫ f(x) dx
האינטגרל עדין מודד שטח — גרור את a ו-b כדי לחשב את סך הרצועה מתחת לעקומה.
מהו ∫ eˣ dx?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
eˣ היא האינטגרל והנגזרת שלה: ∫eˣ dx = eˣ + C.
מהו ∫ (1/x) dx?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
∫(1/x) dx = ln|x| + C (חוק החזקות נכשל עבור n = −1).
∫ e^(2x) dx = (1/a)e^(2x) + C. מהו a?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
חוק השרשרא הפוך: לחלק במדד ה-x בתוך האקספוננציאל.
∫ cos(3x) dx = (1/3)sin(3x) + C. חשב מגבול 0 עד π/6 (2 ספרות אחרי הנקודה).
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
[(1/3)sin(3x)]₀^(π/6) = (1/3)sin(π/2) − 0 = 1/3 ≈ 0.33.
אינטגרציה של חזקות פונקציות טריגונומטריות
- כדי לאינטגרל חזקה של $\sin$/$\cos$, השתמש במזהה כדי לסלק את החזקה תחילה.
- דוגמה: $\sin^2 x = \dfrac{1}{2}(1 - \cos 2x)$, ולכן $\int \sin^2 x\,dx = \dfrac{x}{2} - \dfrac{\sin 2x}{4} + C$.
חוק הטרפז
- כאשר אי אפשר לבצע אינטגרציה מדויקת, הערך:
- כל רצועה ברוחב $h$ היא טרפז; חבר את שטחיهم.
חוק הטרפז: חלק את השטח לרצועות, קירב כל אחת כטרפז, וחבר את שטחיهم.
שיטת הטרפז מעריכה אינטגרל מוגדר כאשר לא ניתן למצוא אותו בדיוק.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
היא מקרבת את השטח כסכום של רצועות טרפז בעובי h.
בשימוש בשיטת הטרפז עם h = 1, הערך ∫₁³ x² dx על ידי ערכי y 1, 4, 9.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
(1/2)[1 + 9 + 2(4)] = (1/2)[10 + 8] = 9. (ערך מדויק: 26/3 ≈ 8.67.)
דוגמה פותרת — חוק הטרפז
- הערך $\int_1^4 x^2\,dx$ באמצעות 3 רצועות ($h = 1$).
- ערכי $y$: $y_0 = 1$, $y_1 = 4$, $y_2 = 9$, $y_3 = 16$.
- $\int \approx \dfrac{1}{2}[1 + 16 + 2(4 + 9)] = \dfrac{1}{2}[17 + 26] = 21.5$.
- ערך מדויק: $\left[\dfrac{x^3}{3}\right]_1^4 = \dfrac{64}{3} - \dfrac{1}{3} = 21$. ההערכה קרובה מאוד.
- אינטגרציה היא נגזרת הפוכה; אינטגרלים מורכבים משתמשים באינטגרציה בהצבה.
הבנתך מושלמת
- $\int e^{ax+b}dx = \tfrac1a e^{ax+b} + C$; $\int \tfrac{1}{ax+b}dx = \tfrac1a\ln|ax+b| + C$
- סלק חזקות של $\sin$/$\cos$ באמצעות מזהה לפני האינטגרציה
- חוק הטרפז מעריך אינטגרל כסכום של רצועות טרפז