נגזרות (טהורה 2)
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| standard derivatives/ˈstændəd dɪˈrɪvətɪvz/ | גזירות סטנדרטיות |
| quotient rule/ˈkwəʊʃənt ruːl/ | כלל המנה |
| product rule/ˈprɒdʌkt ruːl/ | כלל המכפלה |
| parametric/ˌpærəˈmetrɪk/ | פרמטרי |
| implicit/ɪmˈplɪsɪt/ | סתום |
הנגזרת שלא משתנה לעולם
- הפונקציה $e^x$ היא ייחודית: הנגזרת שלה היא עצמה. אין שום פונקציה אחרת עם תכונה זו.
- זה הופך את $e^x$ לבסיס של מודלים לצמיחה, דעיכה רדיואקטיבית וריבית מורכבת.
נגזרות סטנדרטיות
דוגמה מפורטת. $y = e^{3x}$. לפי כלל השרשרת: $\dfrac{dy}{dx} = 3e^{3x}$.
השיפוע בנקודה
שיפוע = dy/dx
הזז את הנקודה — שיפוע ה-משיק הוא ה-נגזרת, גם עבור פונקציות סטנדרטיות אלו.
הנגזרת של ln x היא 1/x. מהו ערכה ב-x = 4?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
d/dx(ln x) = 1/x = 1/4 = 0.25.
הנגזרת של eˣ היא eˣ. מהו הערך שלה ב-x = 0?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
d/dx(eˣ) = eˣ, ו-e⁰ = 1.
אם y = e^(3x), אז dy/dx = 3e^(3x). מהו הערך של dy/dx ב-x = 0?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
ב-x = 0: dy/dx = 3e⁰ = 3 × 1 = 3.
כללי מכפלה ומנה
- כלל המכפלה: $(uv)' = u'v + uv'$.
- כלל המנה: $\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}$.
כלל המכפלה: כאשר גם $u$ וגם $v$ משתנים, קצב השינוי הכולל כולל שני איברים — אחד לכל פונקציה המשתנה בעוד השני נשאר קבוע.
אל תשכחו את כלל המכפלה. הנגזרת של $uv$ אינה $u'v'$. יש להשתמש ב$(uv)' = u'v + uv'$. זוהי אחת הטעויות הנפוצות ביותר בנגזרות.
כלל המכפלה קובע ש-(uv)′ שווה ל:
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
כלל המכפלה: (uv)′ = u′v + uv′.
כלל המנה עבור (u/v)′ הוא (u′v + uv′)/v².
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
כלל המנה הוא (u′v − uv′)/v² (מינוס, ולא פלוס במונה).
גזירה פרמטרית ואי-אפיונית
- פרמטרית: $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{dy/dt}{dx/dt}$.
- אי-אפיונית: גזרו כל איבר ב$x$, הפעילו את כלל השרשרת לאיברי ה$y$, ולאחר מכן פתרו עבור $\dfrac{dy}{dx}$.
אם x = t² ו-y = t³, אז dy/dx = (dy/dt)/(dx/dt) = 3t²/2t = 3t/2. ב-t = 4, dy/dx = ?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
ב-t = 4: dy/dx = 3(4)/2 = 6.
דוגמה מפורטת — כלל המכפלה
- $y = x^2 \sin x$. נתון כי $u = x^2$, $v = \sin x$.
- $u' = 2x$, $v' = \cos x$.
- $\dfrac{dy}{dx} = 2x\sin x + x^2\cos x$.
הבנתך מושלמת
- למדו: $\dfrac{d}{dx}e^x = e^x$, $\dfrac{d}{dx}\ln x = \dfrac{1}{x}$, $\dfrac{d}{dx}\sin x = \cos x$, $\dfrac{d}{dx}\cos x = -\sin x$
- כלל המכפלה $(uv)' = u'v + uv'$; כלל המנה $\dfrac{u'v - uv'}{v^2}$
- פרמטרית: $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{dy/dt}{dx/dt}$; אי-אפיונית: הפעילו את כלל השרשרת לאיברי ה$y$