פונקציות לוגריתמיות ואקספוננציאליות
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| logarithm/ˈlɒɡərɪθəm/ | לוגריתם |
| laws of logarithms/lɔːz ɒv ˈlɒɡərɪθəmz/ | חוקי הלוגריתמים |
| natural logarithm/ˈnætʃərəl ˈlɒɡərɪθəm/ | לוגריתם טבעי |
| linear form/ˈlɪnɪə fɔːm/ | צורה ליניארית |
המספר הגודל לנצח
- חשבון בנק כפיל עצמו כל 10 שנים. לאחר 100 שנים, הוא גדל פי גורם של $2^{10} = 1024$.
- אך מה אם תרצה לדעת: "לאחר כמה שנים ערכו יהיה בדיוק פי 500 מהמקורי?" זו שאלה שרק לוגריתמים יכולים לענות עליה.
מהו לוגריתם?
- לוגריתם עונה על "איזה מערך": אם $a^x = y$ אז $x = \log_a y$.
- דוגמה: $2^x = 32 \Rightarrow x = \log_2 32 = 5$.
דוגמה מפורשת. פתור $3^x = 81$. מכיוון שה-$81 = 3^4$, אנו מקבלים $x = \log_3 81 = 4$.
עוצמת רעידות אדמה נמדדת בסולם ריכטר הלוגריתמי
גידול אקספוננציאלי
y = a·bˣ
שינוי הבסיס b: כאשר b > 1 הפונקציה גוברת, כאשר 0 < b < 1 היא דועכת — והיא תמיד עוברת דרך הנקודה (0, a).
הערכו את log₂(8).
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
2³ = 8, ולכן log₂(8) = 3.
פתרו את המשוואה 2ˣ = 8 עבור x.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
2³ = 8, ולכן x = 3 (או x = log₂8 = 3).
חוקי הלוגריתמים
- חוקי הלוגריתמים:
- $\log(mn) = \log m + \log n$,
- $\log\dfrac{m}{n} = \log m - \log n$,
- $\log(m^k) = k\log m$.
לוגריתמים אינם מתפלגים על סכומים. $\log(a + b) \neq \log a + \log b$. החוקים חלים רק על מכפלות, מנות וחזקות — לא על סכומים.
אוכלוסיות יכולות לגדול אקספוננציאלית כאשר משאבים זמינים
איזה מכלול לוגריתמי הוא נכון?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
log(mn) = log m + log n; וגם log(m^k) = k log m.
log(a + b) = log a + log b.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
לוגריתמים אינם מתפצלים על סכום. לכן, log(a + b) ≠ log a + log b.
e ו-ln
- $e^x$ וה-לוגריתם הטבעי $\ln x$ הם הפוכים: $\ln(e^x) = x$ ו-$e^{\ln x} = x$.
- כאשר המשתנה הלא ידוע נמצא ב-מעלה חזקה, ניקח לוגריתמים משני הצדדים.
$e^x$ ו-$\ln x$ הן פונקציות הפוכות: הגרפים שלהן הם השתקפויות במשפט $y = x$.
מהו ln(e⁵)?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
ln ו-e הם פונקציות הופכות זו לזו, ולכן ln(e⁵) = 5.
צורה ליניארית ומודלינג
- צורה ליניארית: $y = Ax^n$ הופך ל-$\ln y = \ln A + n\ln x$ — קו עם שיפוע $n$, חיתוך $\ln A$.
- דבר זה מאפשר למצוא את חוק החזקות מהנתונים הניסוייים על ידי ביצוע גרף של $\ln y$ מול $\ln x$.
- לוגריתמים ו-מעלות חזקה (חזקות) הן פעולות הפוכות.
אם y = 5x³, אזי ln y = ln 5 + n ln x. מהו הערך של n?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
ln(5x³) = ln 5 + 3 ln x, ולכן n = 3 (המעריך הופך למדרגה).
הבנתך מושלמת
- לוגריתם עונה על השאלה "איזה מעלה?"; חוקים: $\log mn = \log m + \log n$, $\log m^k = k\log m$
- $e^x$ ו-$\ln x$ הם הפוכים; לקוח לוגריתמים כאשר המשתנה הלא ידוע הוא מעלה חזקה
- צורה ליניארית: לבצע גרף של $\ln y$ מול $\ln x$ → שיפוע $n$, חיתוך $\ln A$