אינטגרציה
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| integration/ˌɪntɪˈɡreɪʃn/ | אינטגרציה |
| constant of integration/ˈkɒnstənt ɒv ˌɪntɪˈɡreɪʃn/ | קבוע אינטגרציה |
| definite integral/ˈdefɪnət ˈɪntɪɡrəl/ | אינטגרל מוגדר |
| volume of revolution/ˈvɒljuːm ɒv ˌrevəˈluːʃn/ | נפח סיבוב |
השטח מתחת לעקומה
- כמה דלק שורף רקטה אם הדחיפה משתנה לאורך זמן? כמה שטח כיס שדה בעל גבול מעוגל?
- אינטגרציה עונה על שאלות אלו — היא מחשבת את הסכום הכולל של כמות מהנרדפת מקצב שינוי.
אינטגרציה לא מוגדרת
- אינטגרציה היא הפועלת ההפוכה לגזירה:
- ה-$+\,C$ הוא קבוע האינטגרציה — מצאים אותו נקודה ידועה.
דוגמה פותרת. $\int 3x^2\,dx = x^3 + C$. אם העקומה עוברת דרך $(1, 5)$: $1^3 + C = 5$, ולכן $C = 4$ ו-$y = x^3 + 4$.
אינטגרל מוגדר מדוד את השטח המקוטע בין העקומה לציר ה-x
השטח תחת העקומה
שטח = ∫ f(x) dx
גרור את הגבולות a ו-b — השטח המוצל בין העקומה לציר ה-x הוא האינטגרל המוגדר.
מדוע אינטגרל לא מוגדר כולל "+ C"?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
גזירה של קבוע נותנת 0, ולכן הפונקציה המקורית יכלה להכיל כל קבוע — מכאן + C.
אם dy/dx = 4x והעוברת דרך הנקודה (1, 7), מהו ערך C ב-y = 2x² + C?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
y = 2x² + C. בנקודה (1, 7): 7 = 2(1)² + C → C = 5.
אינטגרלים מוגדרים
- אינטגרל מוגדר נותן מספר: $\displaystyle\int_p^q f(x)\,dx = F(q) - F(p)$.
- השטח מתחת לעקומה מ-$p$ עד $q$ הוא $\displaystyle\int_p^q y\,dx$ (עבור שתי עקומות, אינטגרטים עליון - תחתון).
האינטגרל הסדיר $\int_0^3 x^2\,dx = \left[\dfrac{x^3}{3}\right]_0^3 = 9 - 0 = 9$. השטח המוצלע הוא $9$ יחידות רבועות.
שטח מתחת לציר ה-x הוא שלילי. אם העקומה צוללת מתחת לציר, האינטגרל נותן ערך שלילי. כדי למצוא את השטח הכולל, יש לחלק בשורשים ולקוח את הערך המוחלט של כל חלק.
חשב את האינטגרל המוגדר של 2x מ-0 עד 3 (∫₀³ 2x dx).
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
∫2x dx = x², לכן [x²]₀³ = 9 − 0 = 9.
חשב ∫₀² 3x² dx.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
∫3x² dx = x³, לכן [x³]₀² = 8 − 0 = 8.
אם עקומה נמצאת מתחת לציר ה-x, האינטגרל המוגדר נותן ערך שלילי.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
שטח מתחת לציר ה-x תורם באופן שלילי לאינטגרל. לקחת את הערך המוחלט כדי למצוא את השטח האמיתי.
נפח סיבוב
- נפח סיבוב סביב ציר ה$x$: $V = \pi\displaystyle\int_p^q y^2\,dx$.
- לחשוב על כך כהצטברות של דיסקים דקים מאוד בעלי רדיוס $y$ ועובי $dx$.
סיבוב האזור מתחת לעקומה סביב ציר ה-x יוצר גוף, שמחושב כסכום של דיסקים דמים
נפח גלילה של y = x סביב ציר ה-x מ-0 עד 2 הוא π∫₀² x² dx. מצאו את הערך (ללא π).
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
∫₀² x² dx = [x³/3]₀² = 8/3 ≈ 2.67.
דוגמה מפורשת
- מצאו את השטח מתחת ל$y = x^2$ בין $x = 0$ ל$x = 3$:
- $\displaystyle\int_0^3 x^2\,dx = \left[\dfrac{x^3}{3}\right]_0^3 = \dfrac{27}{3} - 0 = 9$.
- אינטגרל לא תקין הוא בעל גבול אינסופי או פונקציית אינטגרציה לא מוגבלת.
הבנתך מושלמת
- אינטגרציה מפכה נגזרת; זכרו את $+\,C$
- אינטגרל סדיר $\int_p^q f(x)\,dx = F(q) - F(p)$ = השטח מתחת לעקומה
- נפח סיבוב סביב ציר ה$x$ $= \pi\int y^2\,dx$
- שטח מתחת לציר הוא שלילי — לחלק ולקוח ערכים מוחלטים לשם חישוב השטח הכולל