גזירה

קצב השינוי

• במה המדחף מאיץ ברגע המדויק בו הדלק נגמר? כמה תלולה הרוטור בתוך הנקודה הגבוהה ביותר שלו?
• גזירה עונה על שאלות אלו — היא מחשבת את קצב השינוי המיידי בכל נקודה על העקומה.

הכלל ההחזקה וכלל השרשרת

• גזירה מחשבת את הנטייה של עקומה בכל נקודה — ה-נגזרת $f'(x)$ או $\dfrac{dy}{dx}$.
• הכלל ההחזקה: $\dfrac{d}{dx}(x^n) = n x^{n-1}$ (כל $n$ רציונלי).
• כלל שרשרת לפונקציה בתוך פונקציה: $\dfrac{d}{dx}f(g(x)) = f'(g(x))\cdot g'(x)$.

הנגזרת $\dfrac{dy}{dx} = 2x$ נותנת את הנטייה בכל נקודה: בנקודה $x = 2$, הנטייה היא $4$.

נקודות קיטוע

• נקודת קיטוע היא הנקודה שבה $\dfrac{dy}{dx} = 0$ (המשיק אופקי).
• בדיקה באמצעות הנגזרת השנייה:
  • $f''(x) > 0$ → מינימום,
  • $f''(x) < 0$ → מקסימום.
• כמו כן: $\dfrac{dy}{dx} > 0$ → עולה; $< 0$ → יורד.

במקסימום או במינימום השיפוע dy/dx הוא אפס

דוגמה מודגמת — מציאת נקודות קיטוע

• $y = x^3 - 6x^2 + 9x + 2$.
• $\dfrac{dy}{dx} = 3x^2 - 12x + 9 = 3(x-1)(x-3)$.
• נקודות קיטוע ב-$x = 1$ וב-$x = 3$.
• $\dfrac{d^2y}{dx^2} = 6x - 12$: בנקודה $x=1$, ערך $f'' = -6 < 0$ (מקסימום); בנקודה $x=3$, ערך $f'' = 6 > 0$ (מינימום).

יישומי הגזירה

• אופטימיזציה: מציאת רווח מקסימלי או עלות מינימלית על ידי הצבת $\dfrac{dy}{dx} = 0$ לאפס.
• קצבי שינוי: מהירות היא הנגזרת של מיקום; תאוצה היא הנגזרת של המהירות.
• שרטוט curves: נקודות קיטוע וסימן ה-$\dfrac{dy}{dx}$ חושפים את צורת העקומה.
• הנגזרת מספקת גם את השיפוע של נורמלים (הניצבים למשיק).

הבנתך מושלמת