סדרה
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| converges/kənˈvɜːdʒɪz/ | מתכנס |
| geometric series/ˌdʒiːəʊˈmetrɪk ˈsɪəriːz/ | סדרה גיאומטרית |
| binomial expansion/baɪˈnəʊmɪəl ekˈspænʃn/ | פיתוח בינומי |
| binomial coefficient/baɪˈnəʊmɪəl ˌkəʊɪˈfɪʃənt/ | מקדם בינומי |
| arithmetic progression/əˈrɪθmətɪk prəˈɡreʃn/ | התקדמות חישוקית |
| common difference/ˈkɒmən ˈdɪfrəns/ | הפרש אחיד |
| geometric progression/ˌdʒiːəʊˈmetrɪk prəˈɡreʃn/ | התקדמות גיאומטרית |
| common ratio/ˈkɒmən ˈreɪʃɪəʊ/ | יחס אחיד |
| sum to infinity/sʌm tʊ ɪnˈfɪnɪti/ | סכום לאינסוף |
הסכום האינסופי המתכנס
- להוסיף $1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{8} + \cdots$ לנצח. מה הסכום? בדיוק $2$.
- זוהי סדרה גיאומטרית עם יחס $\dfrac{1}{2}$. לא כל הסכומים האינסופיים מתנהגים ככה בצורה נעימה — אלה שעושים זאת הם כלים חזקים במשק, פיזיקה וחישוב.
פיתוח דו-איברי
- עבור מספר טבעי $n$:
- כאשר $\binom{n}{r} = \dfrac{n!}{r!\,(n-r)!}$ הוא מקדם דו-איברי.
דוגמה מפורטת. $(1+x)^4 = 1 + 4x + 6x^2 + 4x^3 + x^4$. המקדמים $1, 4, 6, 4, 1$ הם שורת ה4 במשולש פסקל.
מהו המקדם הבינומי C(5, 2) = 5! / (2! 3!)?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
C(5,2) = 120/(2×6) = 120/12 = 10.
התקדמות אריתמטית (AP)
- AP מוסיפה קבוע הפרש משותף $d$ בכל צעד: $a, a+d, a+2d, \ldots$
- איבר ה-$n$: $u_n = a + (n-1)d$.
- סכום ה-$n$ איברים הראשונים: $S_n = \dfrac{n}{2}\big(2a + (n-1)d\big)$.
סדרה אריתמטית בעלת איבר ראשון a = 3 והפרש משותף d = 4. מהו האיבר ה-5?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
u₅ = a + (n−1)d = 3 + 4×4 = 3 + 16 = 19.
סדרה אריתמטית בעלת a = 2 ו-d = 3. מהו סכום ה-5 איברים הראשונים?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
S₅ = (5/2)(2×2 + 4×3) = (5/2)(4 + 12) = (5/2)(16) = 40.
התקדמות גיאומטרית (GP)
- GP מכפילה בקבוע יחס משותף $r$ בכל צעד: $a, ar, ar^2, \ldots$
- איבר ה-$n$: $u_n = ar^{n-1}$.
- סכום ה-$n$ איברים הראשונים: $S_n = \dfrac{a(1-r^n)}{1-r}$ (עבור $r \neq 1$).
AP גדילה ליניארית (מוסיפים $d$); GP גדילה מעריכית (מכפילים ב-$r$). עבור $r > 1$, ה-GP לבסוף יעלה על ה-AP.
בנה סדרה
uₙ = a · rⁿ⁻¹
כל איבר כופל ב-r. כאשר |r| < 1 האיברים מתכווצים וה-סכום לאינסוף מתכנס.
סדרה גיאומטרית בעלת a = 2 ו-r = 3. מהו האיבר ה-4?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
u₄ = ar³ = 2 × 3³ = 2 × 27 = 54.
סכום לאינסוף
- GP מתכנסת כאשר $|r| < 1$ — האיברים הופכים לקטנים וקטנים יותר.
- סכום לאינסוף: $S_\infty = \dfrac{a}{1-r}$.
$|r| < 1$ הוא קריטי. אם $|r| \geq 1$, האיברים אינם מתכווצים והסכום האינסופי מתבדר (גדל ללא גבול). הנוסחה $S_\infty = \dfrac{a}{1-r}$ חלה רק כאשר הסדרה מתכנסת.
- התקדמות אריתמטית יש לה הפרש משותף; התקדמות גיאומטרית יש לה יחס משותף. התקדמות גיאומטרית מתכנסת ($|r|<1$) מראה התכנסות לסכום לאינסוף.
לגיאומטרית יש a = 8 ו-r = 0.5. מהו הסכום לאינסוף?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
S∞ = a/(1−r) = 8/(1−0.5) = 8/0.5 = 16.
לסדרה גיאומטרית עם r = 1.5 יש סכום סופי לאינסוף.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
נוסחת הסכום לאינסוף חלה רק כאשר |r| < 1. עם r = 1.5, הסדרה שואפת לפינות.
התאם כל נוסחה למה שהיא מחשבת.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
d מסמן את המשפחה האריתמטית, r את הגיאומטרית — זיהוי הנוסחה הוא למחצית השאלה במבחן.
הבנתך מושלמת
- פיתוח בינומי: $(a+b)^n = \sum \binom{n}{r} a^{n-r} b^r$
- AP: $u_n = a + (n-1)d$, $S_n = \dfrac{n}{2}(2a+(n-1)d)$
- GP: $u_n = ar^{n-1}$, $S_n = \dfrac{a(1-r^n)}{1-r}$
- אם $|r|<1$, סכום לאינסוף $S_\infty = \dfrac{a}{1-r}$