טריגונומטריה
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| trigonometric/ˌtrɪɡənəʊˈmetrɪk/ | טריגונומטרי |
| asymptotes/ˈæsɪmptəʊts/ | אסימפטוטות |
| identities/aɪˈdentɪtiz/ | זהויות |
המתמטיקה של מחזורים
- גאות ושפל, גלי קול, זרם מתחלף, מסלולי כוכבי לכת — כולם מתוארים על ידי פונקציות טריגונומטריות.
- הגלים סינוס וקוסינוס הם בתי הבניין של תנועה מחזורית. השלוטה בהם מאפשרת לדגם כל דבר החוזר על עצמו.
גרפים של sin, cos ו-tan
- $\sin$ ו-$\cos$ נעים בין $-1$ ל-$1$ וחוזרים על עצמם כל $360^\circ$ (או $2\pi$ רדיאנים).
- $\tan$ חוזר על עצמו כל $180^\circ$ (או $\pi$ רדיאנים) ולו יש אסימפטות אנכיות ב-$90^\circ$ וב-$270^\circ$.
המעגל היחיד: $\cos\theta$ הוא הקואורדינטה ה$x$, $\sin\theta$ היא הקואורדינטה ה$y$. מכיוון ש$x^2 + y^2 = 1$, אנו מקבלים $\cos^2\theta + \sin^2\theta \equiv 1$.
המעגל היחידתי
(cos θ, sin θ)
סובבים את הזווית θ סביב המעגל: הרגל האופקית היא cos θ והרגל האנכית היא sin θ.
ערכים מדויקים
- למד ערכים אלו ללא מחשבון:
| $\theta$ | $0^\circ$ | $30^\circ$ | $45^\circ$ | $60^\circ$ | $90^\circ$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $\sin$ | $0$ | $\tfrac12$ | $\tfrac{1}{\sqrt2}$ | $\tfrac{\sqrt3}{2}$ | $1$ |
| $\cos$ | $1$ | $\tfrac{\sqrt3}{2}$ | $\tfrac{1}{\sqrt2}$ | $\tfrac12$ | $0$ |
| $\tan$ | $0$ | $\tfrac{1}{\sqrt3}$ | $1$ | $\sqrt3$ | בלתי מוגדר |
עצות זיכרון. ערכי הסינוס נובעים מהתבנית $\dfrac{\sqrt{0}}{2}, \dfrac{\sqrt{1}}{2}, \dfrac{\sqrt{2}}{2}, \dfrac{\sqrt{3}}{2}, \dfrac{\sqrt{4}}{2}$ עבור $0°, 30°, 45°, 60°, 90°$. קוסינוס הוא ההפוך.
גלגל ענק: נקודה על הקוטר נעה מעלה ומטה כמו גל סינוס
גרפים של סינוס וקוסינוס
גרור את המידה, המחזור וההזזות של y = a·sin(bx + c) + d וצפו כיצד העקומה משתנה ביחס לגל הבסיס.
מהו הערך המדויק של sin 30°?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
sin 30° = 1/2 = 0.5.
מהו ערכו של tan 45°?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
tan 45° = 1.
מהו הערך המדויק של cos 60°?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
cos 60° = 1/2 = 0.5.
זהויות מפתח
- שתי הזהויות הבסיסיות: $\tan\theta \equiv \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$ ו$\sin^2\theta + \cos^2\theta \equiv 1$.
- הן מאפשרות להמיר בין פונקציות ולפשט ביטויים.
$\sin^2\theta + \cos^2\theta \equiv 1$, לא $(\sin\theta + \cos\theta)^2 = 1$. הזהות עוסקת בסכום הריבועים, ולא בריבוע הסכום. זו טעות נפוצה במבחנים.
גלי sin ו-cos בין -1 ל-1; tan מתפרץ ב-90 וב-270 מעלות
כל זווית θ, מה שווה ביטוי sin²θ + cos²θ?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
זהו הזהות sin²θ + cos²θ ≡ 1.
איזו זהות נכונה?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
tan θ ≡ sin θ / cos θ; וכן sin²θ + cos²θ ≡ 1.
פתרון משוואות טריגונומטריות
- לפתור משוואה טריגונומטרית: צמצם אותה לפונקציה אחת (לרוב ריבועית ב$\sin$ או $\cos$), ולאחר מכן מצא כל הפתרונים בטווח הנתון.
- השתמש בת simmetry הגרף: אם ל-$\sin\theta = k$ יש פתרון $\theta = \alpha$, אזי $\theta = 180^\circ - \alpha$ הוא גם כן פתרון.
- פתור משוואות טריגונומטריות; השתמש ב-פונקציות הפוכות $\sin^{-1},\cos^{-1},\tan^{-1}$ (יחסים טריגונומטריים הפוכים), המספקות ערכים ראשוניים.
אם sin θ = 0.5 ו-0° ≤ θ ≤ 360°, אזי θ = 30° הוא הפתרון היחיד.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
למשוואה sin θ = 0.5 יש גם פתרון נוסף θ = 180° − 30° = 150° בתחום הנתון.
הבנתך מושלמת
- $\sin, \cos$ נשארים ב$[-1, 1]$, חוזרים כל $360^\circ$; לדעת את הערכים המדויקים של $30/45/60$
- זהויות: $\tan\theta \equiv \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$, $\sin^2\theta + \cos^2\theta \equiv 1$
- פתור על ידי צמצום לפונקציה טריגונומטרית אחת, ולאחר מכן מציאת כל הפתרונים בטווח