מידה מעגלית
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| radians/ˈreɪdɪənz/ | רדיאנים |
| arc length/ɑːk leŋθ/ | אורך קשת |
| sector area/ˈsektə ˈeərɪə/ | שטח מניפה |
| segment/ˈseɡmənt/ | מסילה |
מדוע רדיאנים?
- מהנדסים מודדים זוויות בדרגות. מתמטיקאים מעדיפים רדיאנים — ולטובת סיבה טובה.
- הרדיאן הוא היחידה הטבעית: זהו הזווית החוצה קשת ששווה לאורך הרדיוס.
- עם רדיאנים, הנוסחאות לאורך קשת ושטח עיגול משוטח הופכות לפשוטות ומרהיבות.
מהו רדיאן?
- רדיאן הוא הזווית החוצה קשת השווה לרדיוס.
- הקישור: $\pi \text{ radians} = 180^\circ$.
- דרגות → רדיאנים: כפול ב-$\dfrac{\pi}{180}$; רדיאנים → דרגות: כפול ב-$\dfrac{180}{\pi}$.
המרות נפוצות. $90^\circ = \dfrac{\pi}{2}$ רד; $\;60^\circ = \dfrac{\pi}{3}$ רד; $\;45^\circ = \dfrac{\pi}{4}$ רד; $\;30^\circ = \dfrac{\pi}{6}$ רד.
כמה מעלות שוות ל-π רדיאנים?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
בהגדרה, π רדיאנים = 180°.
60° ברדיאנים הוא:
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
60° × π/180 = 60π/180 = π/3.
אורך קשת ושטח עיגול משוטח
- לעיגול משוטח עם רדיוס $r$ וזווית $\theta$ ברדיאנים:
- אורך קשת $s = r\theta$,
- שטח עיגול משוטח $A = \tfrac12 r^2 \theta$.
האלגנטיות של רדיאנים: אורך קשת $= r\theta$ ושטח עיגול משוטח $= \tfrac{1}{2}r^2\theta$. אין צורך בשברים מסורבלים של $\dfrac{\theta}{360}$.
רק רדיאנים. הנוסחאות $s = r\theta$ ו$A = \tfrac{1}{2}r^2\theta$ פועלות רק כאשר $\theta$ ברדיאנים. אם הזווית שלך בדרגות, המר תחילה.
המסלה
s = rθ · A = ½r²θ
גרור את ה-זווית θ (ברדיאנים) ואת ה-רדיוס r — האורך והשטח של קשת ומסלה יינתנו.
למסלה יש רדיוס 5 וזווית 2 רדיאנים. מהו אורך הקשת (s = rθ)?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
s = rθ = 5 × 2 = 10.
למסלה יש רדיוס 4 וזווית 0.5 רדיאנים. מה שטחה (A = ½r²θ)?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
A = ½ × 4² × 0.5 = ½ × 16 × 0.5 = 4.
הנוסחה s = rθ עובדת כאשר θ נמדד במעלות.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
s = rθ עובדת רק כאשר θ ברדיאנים. המירו מעלות לרדיאנים תחילה.
שטח מקטע
- קטע הוא האזור שבין מיתר לקשת.
- שטח קטע = עיגול-מסב − משולש = $\tfrac12 r^2(\theta - \sin\theta)$.
- שטח המשולש הוא $\tfrac{1}{2}r^2\sin\theta$ (על פי חוק הסינוסים לשטח).
משיק נוגע במעגל בנקודה אחת והוא מאונך לרדיוס שם
לקטע יש r = 6 ו-z = π/3 רדיאנים. שטח הקטע הוא ½r²(θ − sin θ). מצאו אותו (2 ספרות אחרי הנקודה).
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
½ × 36 × (π/3 − sin(π/3)) = 18 × (1.0472 − 0.8660) = 18 × 0.1812 = 3.26.
דוגמה מפורשת
- עיגול-מסב: $r = 5$, $\theta = 2$ רדיאנים.
- אורך הקשת $= 5 \times 2 = 10$.
- שטח עיגול-מסב $= \tfrac{1}{2}(5^2)(2) = 25$.
- שטח הקטע $= \tfrac{1}{2}(25)(2 - \sin 2) = 12.5(2 - 0.909) = 13.6$.
הבנתך מושלמת
- $\pi$ רדיאנים $= 180^\circ$; המרה באמצעות $\times\dfrac{\pi}{180}$ או $\times\dfrac{180}{\pi}$
- אורך קשת $s = r\theta$; שטח עיגול-מסב $A = \tfrac12 r^2\theta$ ($\theta$ ברדיאנים)
- קטע $= \tfrac12 r^2(\theta - \sin\theta)$