גיאומטריה אנליטית
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| gradient/ˈɡreɪdɪənt/ | שיפוע |
| perpendicular/ˌpɜːpənˈdɪkjʊlə/ | ניצב |
| midpoint/ˈmɪdpɔɪnt/ | אמצע |
| perpendicular bisector/ˌpɜːpənˈdɪkjʊlə baɪˈsektə/ | אנכי אמצעי |
| tangent/ˈtændʒənt/ | משיק |
המתמטיקה של מיקום
- לווייני GPS מספקים דיוק במיקום שלך בתוך מספר מטרים באמצעות גיאומטריית קואורדינטות.
- לכל מפה, לכל תוכנית עיצוב, ולכל גרפי מחשב סמוכים אותם רעיונות יסודיים: קווים, מעגלים, והמרחקים בין נקודות.
ישרים
- שיפוע של הישר העובר דרך $(x_1, y_1)$ ו$(x_2, y_2)$: $m = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$.
- משוואות ישרים: $y = mx + c$ (צורה שיפוע-חיתוך), או $y - y_1 = m(x - x_1)$ (צורה נקודה-שיפוע).
- ישרים מקבילים בעלי שיעורים שווים; ישרים מאונכים בעלי שיעורים שמכפלתם היא $-1$.
דוגמה מופרדת. ישר העובר דרך $(2, 3)$ ו$(6, 11)$: $m = \dfrac{11-3}{6-2} = \dfrac{8}{4} = 2$. המשוואה: $y - 3 = 2(x - 2) \Rightarrow y = 2x - 1$.
לכידת טעות בשיפוע מאונך. אם לישר יש שיפוע $2$, השיפוע המאונך הוא $-\dfrac{1}{2}$, לא $-2$. עליך להפוך את השבר ולשנות את הסימן.
הקו הישר
y = ax + b
השיפוע a גורם לקו להטיה; המסך b מזיז אותו למעלה ולמטה.
מהו השיפוע של הקו העובר דרך הנקודות (2, 3) ו-(6, 11)?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
m = (11 − 3) / (6 − 2) = 8/4 = 2.
לקו יש שיפוע 2. מהו השיפוע של קו מאונך לו?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
שיפועים מאונכים כפולים זה בזה לתוצאת −1, ולכן השיפוע הוא −1/2 = −0.5.
נקודות אמצע וישרים מקבילים
- נקודת האמצע של $(x_1, y_1)$ ו$(x_2, y_2)$ היא $\left(\dfrac{x_1+x_2}{2}, \dfrac{y_1+y_2}{2}\right)$.
- האנכי האמצעי עובר דרך נקודת האמצע עם השיפוע המאונך.
קואורדינת ה-x של אמצע הקטע בין (2, 3) ל-(8, 7) היא:
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
אמצע ה-x = (2 + 8)/2 = 5.
מעגלים
- מעגל, מרכז $(a, b)$, רדיוס $r$: $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$.
- צורה פרוסה (למשל $x^2 + y^2 - 6x + 10y - 27 = 0$) → השלמת מربع ב$x$ וב$y$ כדי למצוא את המרכז והרדיוס.
המשוואה $(x-3)^2 + (y+2)^2 = 25$ מתארת מעגל עם מרכז $(3, -2)$ ורדיוס $5$.
למעגל (x − 3)² + (y + 2)² = 25 מהו הרדיוס?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
r² = 25, ולכן r = 5; המרכז נמצא בנקודה (3, −2).
מעגל x² + y² − 6x + 10y − 27 = 0 מרכזו הוא:
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
השלמה לריבוע: (x−3)² + (y+5)² = 9 + 25 + 27 = 61. המרכז הוא (3, −5).
מגעים למעגלים
- משיק נוגע במעגל פעם אחת ומאונך לרדיוס בנקודה זו.
- עובדת הזווית הישרה הזו פותרת רוב בעיות המעגל: מצאו את שיפוע הרדיוס, ולאחר מכן שיפוע המשיק הוא $-\dfrac{1}{m}$.
משיק למעגל מאונך לרדיוס בנקודה בה הוא נוגע במעגל.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
העובדה הזו על זווית ישרה פותרת את רוב בעיות המעגל.
הבנתך מושלמת
- שיפוע $m = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$; מכפלת שיעורי ישרים מאונכים היא $-1$
- circle: $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$, centre $(a,b)$, radius $r$
- משיק מאונך ל-רדיוס בנקודת המגע
- אמצע $= \left(\dfrac{x_1+x_2}{2}, \dfrac{y_1+y_2}{2}\right)$