פונקציות
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| function/ˈfʌŋkʃn/ | פונקציה |
| domain/dəˈmeɪn/ | תחום הגדרה |
| range/reɪndʒ/ | טווח ערכים |
| composition/ˌkɒmpəˈzɪʃn/ | הרכבה |
| inverse/ɪnˈvɜːs/ | פונקציה הפוכה |
| one-one/wʌn wʌn/ | חד-אחד |
מבחן מכונת הכרטיסים
- מכונת כרטיסים לוקחת קוד אחד ומחזירה בדיוק חטיף אחד. אם הקוד A7 מחזיר לעיתים צ'יפס ולעיתים שוקולד, המכונה תקולה.
- פונקציה פועלת באותו אופן: כל כניסה ממופה בדיוק ליציאה אחת. הכלל הפשוט הזה הוא הבסיס לכל החשבון האינפיניטסימלי.
פונקציות, תחום הגדרה ותחום ערכים
- פונקציה $f(x)$ שולחת כל כניסה ליציאה אחת בדיוק.
- תחום ההגדרה = הכניסות המותרות; תחום הערכים = היציאות שנוצרו.
- דוגמה: $f(x) = \sqrt{x}$ יש לה תחום הגדרה $x \geq 0$ ותחום ערכים $f(x) \geq 0$.
הגבלות בתחום ההגדרה. $g(x) = \dfrac{1}{x-3}$ יש לה תחום הגדרה $x \neq 3$ (חלוקה באפס אינה מוגדרת). תחום הערכים הוא כל המספרים הממשיים פרט ל-$0$.
חקור פונקציה
y = ax³ + bx² + cx + d
פונקציה מייצרת כל קלט בדיוק לתפוקה אחת — גרור את המקדמים וצפה היכן העקומה עולה ויורדת.
תחום ההגדרה של f(x) = √(x − 4) הוא:
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
הביטוי מתחת לשורש חייב להיות אי-שלילי: x − 4 ≥ 0, ולכן x ≥ 4.
הרכבה והפוכה
- פונקציה היא חד-חד-ערכית אם כניסות שונות תמיד מניבות יציאות שונות — רק אז יש לה פונקציה הפוכה $f^{-1}$.
- הרכבה $fg(x) = f(g(x))$ — לבצע את $g$ תחילה, ואז $f$.
אם f(x) = x² ו-g(x) = x + 1, מהי fg(2) = f(g(2))?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
g(2) = 3, ולכן f(3) = 3² = 9.
רק פונקציה חד-חד-ערכית (injection) בעלת פונקציה הפוכה.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
אם שני קלטות שונות יגרומו לאותו תוצאה, הכלל ההפוך יהיה מטושטש — ולכן רק פונקציות חד-חד-ערכיות הן הפיכות.
מציאת פונקציה הפוכה
- כדי למצוא $f^{-1}$: כתוב $y = f(x)$, הופך את $x$ לנושא, ואז החלף אותיות.
- דוגמה: $f(x) = 2x + 6$ → $x = \dfrac{y-6}{2}$ → $f^{-1}(x) = \dfrac{x-6}{2}$.
- הגרף של $y = f^{-1}(x)$ הוא השתקפות של $y = f(x)$ ביחס לקו $y = x$.
פונקציות הפוכה הן סימטריות ביחס ל$y = x$: הנקודה $(a, b)$ על $f$ הופכת ל$(b, a)$ על $f^{-1}$.
לא לכל פונקציה יש פונקציה הפוכה. $f(x) = x^2$ אינה חד-חד-ערכית (גם $2$ וגם $-2$ נותנים את $4$), ולכן אין לה פונקציה הפוכה אלא אם כן מגבילים את התחום ל$x \geq 0$.
עבור f(x) = 2x + 6, הפונקציה ההפוכה היא f⁻¹(x) = (x − 6)/2. מהי ערך הפונקציה f⁻¹(10)?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
f⁻¹(10) = (10 − 6)/2 = 4/2 = 2.
גרף הפונקציה y = f⁻¹(x) הוא השתקפות הגרף y = f(x) ביחס לקו:
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
פונקציה הפוכה משקפת את הגרף המקורי ביחס לקו y = x; נקודה (a, b) הופכת לנקודה (b, a).
תכונות של פונקציות הפוכות
- $f(f^{-1}(x)) = x$ ו$f^{-1}(f(x)) = x$ — הן מבטלות זו את זו.
- התחום של $f^{-1}$ הוא הטווח של $f$, ולהפך.
- גרפית: מחליפים את צירי הקואורדינטות.
- לשלוש ב-הרכבת פונקציות $fg(x)$ ובגרפי שינויי מקום — הזזה, מתיחה, והשתקפויות.
חיבור לתוצאה או לקלט מחליז את הגרף; מכפיל מתיח אותו
עבור כל פונקציה f בעלת פונקציה הפוכה, מתקיים f(f⁻¹(x)) = x.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
יישום פונקציה ולאחר מכן הפונקציה ההפוכה שלה מחזירה את הקלט המקורי — הן מבטלות זו את זו.
הבנתך מושלמת
- פונקציה: כל קלט → בדיוק תוצאה אחת; תחום = הקלט, טווח = התוצאות
- פונקציות חד-חד-ערכית יש להן פונקציות הפוכות; מצאים את $f^{-1}$ על ידי החלפה ופתרון
- הרכבה $fg(x) = f(g(x))$ — לבצע את $g$ תחילה, ואז את $f$
- הגרף של $f^{-1}$ הוא הסימטריה של $f$ ביחס ל$y = x$