משתנים מקריים רציפים (מתקדם)
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| continuous variable/kənˈtɪnjuːəs ˈveərɪəbl/ | משתנה רציף |
| probability density function/ˌprɒbəˈbɪlɪti ˈdensɪti ˈfʌŋkʃn/ | פונקציית צפיפות הסתברות |
| expectation/ekspɪkˈteɪʃn/ | תוצאה מצופה |
| cumulative distribution function/ˈkjuːmjʊlətɪv ˌdɪstrɪˈbjuːʃn ˈfʌŋkʃn/ | פונקציית ההתפלגות המצטברת |
| median/ˈmiːdiːən/ | חציון |
| percentile/pəˈsentaɪl/ | אחוזון |
| quartile/ˈkwɔːtaɪl/ | רביע |
הסתברות כשטח
- עבור משתנה רציף — כמו גובה או זמן המתנה — אין לסוגי ערך מדויק הסתברות; יש אינסוף אפשרויות.
- במקום זאת, ההסתברות היא השטח מתחת לעקומה, פונקציית הצפיפות $f(x)$. השטח הכולל הוא $1$.
פונקציית הצפיפות והצפוי
- $P(a < X < b) = \displaystyle\int_a^b f(x)\,dx$, ושטח הכולל $\int f = 1$.
- הממוצע של כל פונקציה של $X$:
ההסתברויות הן שטחים מתחת ל-f(x); השטח הכולל על כל התחום הוא בדיוק 1.
משתנים מקריים רציפים
P(a < X < b) = ∫ f(x) dx
למשתנה רציף, הסתברות היא ה-שטח מתחת לעקומת הצפיפות.
מה צריך להיות הסכום של השטח כולו מתחת לפונקציית צפיפות ההסתברות?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
פונקציית צפיפות ההסתברות משתלבת ל-1 על כל תחום ההגדרה שלה.
פונקציית ההתפלגות המצטברת
- ה-CDF מצטבר את ההסתברות משמאל:
- היא נעה מ-$0$ ל-$1$, וגיזור משחזר את הצפיפות: $f(x) = F'(x)$.
ה-CDF $F(x)$ עולה מ-0 ל-1; המדियן נקרא מהנקודה בה הוא מגיע לגובה של 0.5
פונקציית ההתפלגות הצוברית F(x) נותנת:
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
F(x) = P(X ≤ x), השטח הצובר עד x.
גזירה של ה-CDF נותנת את הצפיפות: f(x) = F-______(x).
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
f(x) = F′(x): הצפיפות היא הגזירה של ה-CDF.
דוגמה מפורטת — המדियן
- ה-מדיאן $m$ מחלק את השטח למחציים: $F(m) = 0.5$.
- עבור $f(x) = \tfrac12 x$ ב-$[0, 2]$: $F(x) = \tfrac14 x^2$, ולכן $\tfrac14 m^2 = 0.5$ נותן $m = \sqrt2 \approx 1.41$.
אחוזונים עובדים באותו אופן. הרביעית התחתונה פותרת $F(x) = 0.25$; האחוזון ה-90 פותר $F(x) = 0.9$. תמיד השווה $F$ לשבר הרצוי.
עבור f(x) = ½x על [0,2], F(x) = ¼x². הממוצע החוצון פותר את ¼m² = 0.5. מהו m? (2 ספרות אחרי הנקודה)
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
¼m² = 0.5 → m² = 2 → m = √2 ≈ 1.41.
הממוצע m של התפלגות רציפה מקיים:
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
הממוצע מחלק את השטח למחציות: F(m) = 0.5.
צפיפות אינה הסתברות
$f(x)$ יכול לעלות על 1. צפיפות אינה הסתברות — רק ה-שטח הוא. פס גבוה וצר יכול להגיע ל-$f(x) > 1$ כל עוד השטח הכולל נשאר $1$.
- השתמש ב-פונקציות חלוקה מצטברות (CDF) כדי למצוא הסתברויות ואחוזים, ואת ה-CDF של משתנה קשור.
פונקציית צפיפות ההסתברות f(x) יכולה להיות גדולה מ-1.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
רק השטח חייב להיות ≤ 1; עצם הצפיפות יכולה לעלות מעל 1 בתוך מרווח צר.
הבנתך מושלמת
- הסתברות = שטח תחת $f(x)$; שטח כולל $= 1$ (הצפיפות עצמה יכולה לעלות על 1)
- ה-CDF $F(x) = P(X \leq x) = \int f$, וה-$f = F'$.
- המינימום פותר את $F(m) = 0.5$; אחוזים פותרים את $F(x) =$ עבור השבר הזה.