תנועה ליניארית תחת כוח משתנה
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| drag/dræɡ/ | מقاום אוויר |
| position/pəˈzɪʃn/ | מיקום |
| chain rule/tʃeɪn ruːl/ | כלל השרשרת |
| separable/ˈsepərəbl/ | ניתן להפרדה |
| separate/ˈseprət/ | הפרדה |
| integrate/ˈɪntɪɡreɪt/ | אינטגרציה |
| boundary condition/ˈbaʊndəri kənˈdɪʃn/ | תנאי גבול |
כאשר הכוח ממשיך להשתנות
- כובד בסביבת כדור הארץ הוא בערך קבוע — אך משיכת כוכב לכת, התנגדות אוויר לרכב או כוח מגנטי משתנים לפי מיקום.
- כוח התלוי במיקום דורש צורה מתוחכמת יותר של חוק ניוטון.
תאוצה כפונקציה של מיקום
- כאשר הכוח (ולכן גם התאוצה) תלוי במיקום $x$, יש לכתוב את התאוצה כך:
- דבר זה נובע ממשתני השרשרת: $\dfrac{dv}{dt} = \dfrac{dv}{dx}\dfrac{dx}{dt} = v\dfrac{dv}{dx}$.
כאשר כוח משתנה עם המיקום, העבודה היא השטח מתחת לגרף F–x
עבודה מכוח משתנה
W = ∫ F dx
כאשר הכוח משתנה, העבודה המבוצעת היא השטח תחת גרף הכוח–מרחק.
כאשר כוח תלוי במיקום x, ההצהרה הטובה ביותר לתאוצה היא:
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
a = dv/dt = (dv/dx)(dx/dt) = v dv/dx — נוח כאשר הכוח תלוי ב-x.
זהות זו a = v dv/dx נובעת מ-______ הכללים.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
dv/dt = (dv/dx)(dx/dt) = v dv/dx לפי כלל השרשרת.
המרת F = ma למשוואה דיפרנציאלית
- ההצבה נותנת $F(x) = mv\dfrac{dv}{dx}$ — משוואה דיפרנציאלית ניתנת להפרדה המקשרת בין $v$ לבין $x$.
- הפרדו את המשתנים ($v\,dv$ בצד אחד, $x$ בצד השני) ואינטגררו.
מתי להשתמש בכל צורה. כוח תלוי ב-זמן → השתמשו ב$a = \dfrac{dv}{dt}$. כוח תלוי ב-מיקום → השתמשו ב$a = v\dfrac{dv}{dx}$. בחירת הצורה הנכונה היא מחצית הקרב.
הצבת a = v dv/dx בנוסחת F = ma נותנת משוואה דיפרנציאלית ניתנת להפרדה בין v ל-x.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
F(x) = mv dv/dx ניתן להפרדה ל-v dv ולביטוי של x, ולאחר מכן לבצע אינטגרציה.
אם במקום זאת הכוח תלוי בזמן t, הצורה הטבעית לתאוצה היא:
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
כוח תלוי זמן → a = dv/dt; כוח תלוי מיקום → a = v dv/dx.
השיטה
-
- כתבו את $F = ma$ עם $a = v\dfrac{dv}{dx}$.
-
- הפרדה: אספו איברים עם $v$ יחד עם $dv$, ואיברים עם $x$ יחד עם $dx$.
-
- אינטגררו שני האגפים, ולאחר מכן הופיעו את תנאי הגבול כדי למצוא את $v$ כפונקציה של $x$.
- כאשר הכוח תלוי במיקום, טפל בו ככוח משתנה עם $a=v\,dv/dx$.
סדרו את השלבים לפתרון תנועה תחת כוח התלוי במיקום.
Difficulty 3/5 · 200 coins + a small bonus on first completion today
התחילו עם v dv/dx, הפרידו, ביצעו אינטגרציה, ולאחר מכן השתמשו בתנאים כדי לקבע את הקבוע.
הבנתך מושלמת
- לכוח התלוי במיקום, השתמשו ב$a = v\dfrac{dv}{dx}$ (מהמשתני השרשרת)
- דבר זה הופך את $F = ma$ למשוואה דיפרנציאלית ניתנת להפרדה ב$v$ וב$x$
- הפרדו ואינטגררו כדי למצוא את $v$ כפונקציה של $x$