משוואות דיפרנציאליות (Pure Mathematics Further 2)
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| differential equation/ˌdɪfəˈrenʃl ɪˈkweɪʒn/ | משוואה דיפרנציאלית |
| integrating factor/ˈɪntɪɡreɪtɪŋ ˈfæktə/ | גורם אינטגרציה |
| general solution/ˈdʒenərəl səˈluːʃn/ | פתרון כללי |
| complementary function/ˌkɒmplɪˈmentəri ˈfʌŋkʃn/ | פונקציית משלימה |
| auxiliary equation/ɔːkˈsɪlɪəri ɪˈkweɪʒn/ | משוואה עזר |
| boundary condition/ˈbaʊndəri kənˈdɪʃn/ | תנאי גבול |
| initial condition/ɪˈnɪʃl kənˈdɪʃn/ | תנאי התחלה |
| particular integral/pəˈtɪkjʊlə ˈɪntɪɡrəl/ | אינטגרל פרטי |
כאשר הנעלם הוא פונקציה
- משוואות רגילות פותרות עבור מספר. משוואה דיפרנציאלית פותרת עבור פונקציה שלמה — בהינתן כלל לגבי קצב השינוי שלה.
- הם מדגמים קירור קפה, צמיחת אוכלוסיות, טעינת קבלים ותנודות של מטטלטל.
ליניארי מסדר ראשון: גורם האינטגרציה
- עבור $\dfrac{dy}{dx} + P(x)\,y = Q(x)$, כפלו את כל האגפים ב-גורם האינטגרציה:
- הדבר גורם לאגף השמאלי להתכנס ל $\dfrac{d}{dx}(\mu y)$, כך שתוכלו לבצע אינטגרציה ישירה על שני האגפים.
דוגמה מפורטת. $\dfrac{dy}{dx} + 2y = e^x$. כאן $P = 2$, ולכן $\mu = e^{\int 2\,dx} = e^{2x}$. אגף שמאל הופך ל-$\dfrac{d}{dx}(e^{2x}y)$.
משוואות דיפרנציאליות
dy/dx = a y
המשוואה קובעת את השיפוע בכל מקום; הפתרון עוקב אחר שיפועים אלו.
עבור dy/dx + 2y = eˣ, גורם האינטגרציה μ = e^(∫2 dx) הוא:
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
∫2 dx = 2x, ולכן μ = e^(2x).
כפילה בגורם האינטגרציה הופכת את האגף השמאלי ל-d/dx(μy), כך שניתן לבצע אינטגרציה ישירה.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
זהו עיקר הרעיון מאחורי גורם האינטגרציה — הוא הופך את האגף השמאלי לגזירה מדויקת.
מסדר שני, מקדמים קבועים
- עבור $a\dfrac{d^2y}{dx^2} + b\dfrac{dy}{dx} + cy = f(x)$, הפתרון הכללי מכיל שני חלקים:
- הפונקציה המשלימה (CF) נובעת מה-משוואה העזרית $am^2 + bm + c = 0$.
עבור משוואה ליניארית בעלת מקדמים קבועים, הפתרון הכללי הוא:
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
פתרון כללי = פונקציה משלימה (RHS = 0) + אינטגרל פרטי.
קריאת השורשים העזריים
- השורשים של המשוואה העזרית קובעים את צורת ה-FP:
| שורשים | פונקציה משלימה |
|---|---|
| ממשיים ומובדלים $m_1, m_2$ | $Ae^{m_1 x} + Be^{m_2 x}$ |
| חוזרים $m$ | $(A + Bx)e^{mx}$ |
| מרוכבים $p \pm qi$ | $e^{px}(A\cos qx + B\sin qx)$ |
למשוואה דיפרנציאלית ישנה משפחה שלמה של עקומי פתרון; תנאי הגבול בוחרים אחד מהם.
במשוואה y″ − 5y′ + 6y = 0 המשוואה העזרית היא m² − 5m + 6 = 0. מהי השורש הגדול יותר?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
m² − 5m + 6 = (m − 2)(m − 3) = 0, ולכן m = 2 או 3; הגדול ביותר הוא 3.
התאם כל סוג של שורש עזרי לפונקציה המשלימה שהוא מניב.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
ממשיים נפרדים נותנים שתי אקספוננציאליות; שורש כפול מוסיף גורם x; שורשים מרוכבים נותנים צורה תנודתית עם קנה מידה אקספוננציאלי.
תנאי גבול
- הקבועים $A, B$ נקבעים על ידי תנאי גבול או תנאי התחלה (למשל $y(0) = 1$, $y'(0) = 0$).
- ללא תנאים אלו מתקבלת כל המשפחה; עם תנאים אלו, העקום היחיד המתאים.
- פתרו משוואות דיפרנציאליות באמצעות הצבה או בשיטת משתנים ניתנים להפרדה, ולאחר מכן יישמו תנאי התחלה עבור ה-פתרון הפרטי.
הקבועים הרצויים A ו-B קבועים על ידי התנאי ______.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
תנאי גבול או תנאי התחלה (כמו y(0) = 1) קובעים את A ו-B.
הבנתך מושלמת
- ליניארי מסדר ראשון: כפול ב$\mu = e^{\int P\,dx}$, ואז אינטגרל
- מסדר שני: פתרון כללי = פתרון הומוגני + אינטגרל פרטי
- ה-FE נובע מהמשוואה העזרית; תנאי גבול קובעים את הקבועים