מספרים מרוכבים (מתמטיקה נוספת 2)
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| de Moivre's theorem/də ˈmɔɪvəz ˈθɪərəm/ | משפט דמוואר |
| polar form/ˈpəʊlə fɔːm/ | צורה פולרית |
| argument/ˈɑːɡjuːmənt/ | ארגומנט |
| modulus/ˈmɒdjʊləs/ | מודולוס |
| imaginary part/ɪˈmædʒɪnəri pɑːt/ | חלק מדומה |
| roots of unity/ruːts ɒv ˈjuːnɪti/ | שורשי היחידה |
| unit circle/ˈjuːnɪt ˈsɜːkl/ | מעגל יחידה |
הرفع לחזקה, הדרך הקלה
- כדי לחשב את $(\cos\theta + i\sin\theta)^{10}$ בדרך הארוכה, הייתם צריכים לכפול עשר פעמים.
- משפט דה מואבר עושה זאת בשורה אחת — ובנוסף, הוא מחלק עיגול לחלקים שווים.
משפט דה מואבר
- מספר מרוכב בצורה קוטבית: $z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$.
- משפט דה מואבר — לכל מספר שלם $n$:
- העלאה לחזקה כופלת את הארגומנט ב$n$ (וגם את המודולוס ב$r^n$).
מספרים מרוכבים
z = x + yi
סמן את z כנקודה: המרחק ממנו ל-O הוא ה-מודולוס, והזווית היא ה-ארגומנט.
משפט דה מוואר קובע כי (cos θ + i sin θ)ⁿ שווה ל:
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
העלאה בחזקה n מכפילה את הארגומנט ב-n: cos nθ + i sin nθ.
פיתוח זוויות כפולות
- השוואת החלקים הממשי והדמיוני של $(\cos\theta + i\sin\theta)^n$ נותנת זהויות.
- דוגמה מפורטת: החלק הממשי של הקובייה נותן $\cos 3\theta = 4\cos^3\theta - 3\cos\theta$.
בעזרת משפט דה מוואר, פיתוח של cos 3θ הוא:
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
לקחת את החלק הממשי של (cosθ + i sinθ)³: cos 3θ = 4cos³θ − 3cosθ.
שורשי היחידה
- למשוואה $z^n = 1$ יש בדיוק $n$ פתרונות — ה-$n$ שורשים של היחידה.
- הם נמצאים על מעגל היחידה, במרחק שווה של $\dfrac{360^\circ}{n}$ זה מזה, החל מהנקודה $1$.
חמישת הפתרונות של $z^5 = 1$ יושבים על מעגל היחידה, במרחק $72^\circ$ זה מזה — משושה מושלם.
מדוע מרווחים בשווה? לכל שורש יש מודולוס $1$ וארגומנטים $\dfrac{360^\circ k}{n}$ עבור $k = 0, 1, \dots, n-1$ — ולכן שורשים עוקבים שונים זה מזה באותה זווית.
כמה שורשים שונים של יחידות יש למשוואה z⁵ = 1?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
ל-mⁿ = 1 יש בדיוק n שורשים, המפוזרים באופן שווה על מעגל היחידה; כאן n = 5.
שורשי החמישה של יחידות מפוזרים באופן שווה על מעגל היחידה. כמה מעלות נפרדים ביניהם שורשים עוקבים?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
360°/5 = 72° בין שורשים עוקבים.
n שורשי היחידה מפוזרים באופן שווה סביב מעגל היחידה.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
הם יושבים במרווחים זוויתיים שווים של 360°/n סביב המעגל.
טעות נפוצה
משפט דמואר דורש תחילה צורה קוטבית. $(1 + i)^8$ אינו $1^8 + i^8$ — יש להמיר את $1+i$ לצורה קוטבית $r(\cos\theta+i\sin\theta)$ באמצעות $r = \sqrt2$ ו$\theta = 45^\circ$, לאחר מכן ליישם את המשפט.
- סיכום סדרה של איברים $\cos$/$\sin$ משתמש בסכום המרוכב $C + \mathrm{i}S$ של מספרים מרוכבים.
לפני שימוש במשפט דה מוואר עבור (1 + i)⁸, עליך תחילה לכתוב את 1 + i בצורת ______.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
להמיר ל-r(cosθ + i sinθ) תחילה, ואז להעלות בחזקה.
הבנתך מושלמת
- דמואר: $(\cos\theta + i\sin\theta)^n = \cos n\theta + i\sin n\theta$
- הוא פותח זוויות כפולות, לדוגמה $\cos 3\theta = 4\cos^3\theta - 3\cos\theta$
- ה-$n$ שורשי היחידה מרווחים בשווה ב$\dfrac{360^\circ}{n}$ זה מזה על מעגל היחידה