גזירה (Further Pure 2)
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| polynomial/ˌpɒlɪˈnəʊmɪəl/ | פולינום |
| Maclaurin series/məˈklɔːrɪn ˈsɪəriːz/ | סדרת מקלורן |
| differentiation/ˌdɪfəˌrenʃɪˈeɪʃn/ | גזירה |
| hyperbolic/ˌhaɪpəˈbɒlɪk/ | היפרבולי |
| coefficient/ˌkəʊɪˈfɪʃənt/ | מקדם |
| interval of convergence/ˈɪntəvl ɒv kənˈvɜːdʒəns/ | תחום התכנסות |
| diverge/daɪˈvɜːdʒ/ | מתפזר |
כיצד מחשבון מוצא את eˣ?
- לחשבון שלך אין "לחץ" שידוע על $e^{0.7}$ — אין כפתור שמכיר בו.
- במקום זאת הוא מסכך מספר איברים של פולינום הדומה ל-$e^x$ בקרבת אפס.
- הפולינום הזה הוא סדרת מקלורן — ובנייתו מתחילה בהפקת נגזרות חוזרות.
נגזרות חדשות לשמירה
- בחומר נוסף 2 מוסיפים נגזרות של פונקציות היפרבוליות והפוכות:
| פונקציה | נגזרת |
|---|---|
| $\sinh x$ | $\cosh x$ |
| $\cosh x$ | $\sinh x$ |
| $\sin^{-1}x$ | $\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ |
| $\tan^{-1}x$ | $\dfrac{1}{1+x^2}$ |
- ניתן גם למצוא $\dfrac{d^2y}{dx^2}$ עבור מעגלים אינפיציטיים ופרמטריים.
כל איבר מקלורן נוסף לוחץ על e^x בטווח רחב יותר
השיפוע בנקודה
שיפוע = dy/dx
הגזירה היא השיפוע של המשיק, ללא קשר לקוטר הפונקציה.
הנגזרת של sinh x היא:
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
d/dx(sinh x) = cosh x (וגם d/dx(cosh x) = sinh x).
גזירת tan⁻¹x היא 1/(1+x²). מה ערכה ב-x = 0?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
1/(1+0²) = 1.
התאם כל פונקציה לגזרתה.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
החלפת זוג ההיפרבולי (ללא סימן מינוס, בניגוד ל-sin/cos); גזירות הפונקציות טריגונומטריות הפוכות הן הצורות הסטנדרטיות הרציונליות/שורשים.
סדרת מקלורן
- סדרת מקלורן בונה מחדש פונקציה כפולינום אינסופי באמצעות הנגזרות שלה ב-$0$:
- לכל מקדם יש צורך בנגזרה הבאה, המוקמת ב-$x = 0$.
בסדרת מקלורן, האיבר הקבוע הוא f(0). עבור f(x) = eˣ, מהו f(0)?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
e⁰ = 1, לכן האיבר הקבוע הוא 1.
בסדרת מקלורן, המקדם של xⁿ מכיל ניישל (כתוב n!) ב-______.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
איבר ה-xⁿ הוא f⁽ⁿ⁾(0)/n! · xⁿ — ה-n! נמצאת במכנה.
דוגמה מפורטת — הסדרה עבור eˣ
- עבור $f(x) = e^x$, כל הנגזרה היא $e^x$, ולכן $e^0 = 1$. כך שכל המקדם הוא $\dfrac{1}{n!}$:
כל תוספת של איבר מכוונת את הרב-המונום קרוב יותר ל$e^x$ בסביבת $x = 0$ — בדיוק כך פועל מחשבון.
סדרות סטנדרטיות נוספות. $\sin x = x - \dfrac{x^3}{3!} + \dfrac{x^5}{5!} - \cdots$ ו$\ln(1+x) = x - \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^3}{3} - \cdots$ (חלות עבור $|x| < 1$).
סדרת מקלורן של eˣ מתחילה:
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
eˣ = Σ xⁿ/n! = 1 + x + x²/2! + x³/3! + …
תחום החלת הסדרה
- סדרת מקלורן תואמת את הפונקציה רק בתוך תחום ההסתעפות שלה.
- $e^x$, $\sin x$, $\cos x$ מתכנסות עבור כל $x$; אך $\ln(1+x)$ רק עבור $-1 < x \leq 1$.
בדוק התכנסות לפני שתסמך עליה. רחוק מאוד מתחום החלה, הרב-המונום מתרחק בצורה דרסטית מהפונקציה — הוספת איברים הופכת את המצב לרע יותר, ולא טוב יותר.
- גזר פונקציות היפרבוליות ופונקציות הפוכות, וכן קשרים נתונים אקספליציטית או פרמטרית.
סדרת מקלורן של ln(1+x) תקפה לכל ערך של x.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
היא מתכנסת רק עבור −1 < x ≤ 1; מחוץ לטווח זה היא מתבדרת.
הבנתך מושלמת
- גזירות חדשות: $\sinh x \to \cosh x$, $\tan^{-1}x \to \dfrac{1}{1+x^2}$, $\sin^{-1}x \to \dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
- מקלורן: $f(x) = f(0) + f'(0)x + \dfrac{f''(0)}{2!}x^2 + \cdots$
- $e^x = 1 + x + \dfrac{x^2}{2!} + \cdots$ – ככל שישנם יותר איברים, ההתאמה טובה יותר, בתוך תחום ההסתעפות