מטריצות (Further Pure 2)
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| stretch/stretʃ/ | מתיחה |
| eigenvector/ˈaɪdʒənvektə/ | ווקטור מאפיין |
| eigenvalue/ˈaɪdʒənvæljuː/ | ערך מאפיין |
| diagonalisation/daɪˌæɡənəlaɪˈzeɪʃn/ | דיאגונליזציה |
| matrix equation/ˈmeɪtrɪks ɪˈkweɪʒn/ | משוואת מטריצה |
| characteristic equation/ˌkærɪktəˈrɪstɪk ɪˈkweɪʒn/ | משוואה אופיינית |
| scalar/ˈskeɪlə/ | סקאלר |
| diagonal matrix/daɪˈæɡənl ˈmeɪtrɪks/ | מטריצה אלכסונית |
הכיוונים הנסתרים במטריצה
- כל מטריצה משנה את המרחב. ישנם כיוונים מיוחדים: המטריצה רק מתוחה אותם, ללא סיבוב. אלו ה-ווקטורים בעלי ערך, והגורמים בהתאמה הם ה-ערכים בעלים.
- ערכים בעולים חושפים את מבנה המטריצה — הם המפתח לקיבוע אלכסוני, ניתוח יציבות ואלגוריתם PageRank של גוגל.
משוואות מטריצות
- שלושה משוואות ליניאריות בשלושה נעלמות → משוואת מטריצה $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$. מטריצה שאינה singular ($A$) נותנת פתרון יחיד וברור: $\mathbf{x} = A^{-1}\mathbf{b}$.
דוגמה מפורטת. $\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 7 \end{pmatrix}$. פתרון: $2x + y = 5$ ו-$x + 3y = 7$. תשובה: $x = \dfrac{8}{5}$, $y = \dfrac{9}{5}$.
ווקטור בעלי שומר על כיוונו תחת המטריצה; ווקטור כללי מסתובב
מטריצות (Further Pure 2)
(x', y') = M(x, y)
סיבובים, השתקפויות ושיקועים הם כולם מטריצות — קראו אותן מהווקטורי הבסיס המוגדרים מחדש.
ערכים בעלים וווקטורים בעלים
- המשוואה האופיינית $\det(A - \lambda I) = 0$ נותנת את הערכים בעלים $\lambda$.
- עבור כל $\lambda$, ה-ווקטור בעלי $\mathbf{v}$ מקיים $A\mathbf{v} = \lambda\mathbf{v}$.
- כפילת ווקטור בעלי ב-$A$ רק מתוחה אותו (בגורם $\lambda$), ללא שינוי בכיוונו.
הווקטורים בעלים אינם ייחודיים. אם $\mathbf{v}$ הוא ווקטור בעלי, גם $k\mathbf{v}$ הוא כזה לכל סקלר לא-אפס $k$. בדרך כלל בוחרים את הצורה הפשוטה ביותר (מספרים שלמים קטנים).
למטריצה [[2,1],[1,2]] יש משוואה אופיינית (2−λ)² − 1 = 0, שנותנת λ = 1 או λ = 3. מה הערך העצבי הגדול יותר?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
(2−λ)² = 1 → 2−λ = ±1 → λ = 1 או 3; הגדול ביותר הוא 3.
מציאת הערכים העצביים של מטריצה A מתבצעת על ידי פתרון:
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
המשוואה האופיינית det(A − λI) = 0 נותנת את הערכים העצביים.
כפלת מטריצה באיבר עצבי מתיחה בלבד (Av = λv).
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
איבר עצבי שומר על כיוונו; המטריצה פשוט מדגימה אותו פי הערך העצבי λ.
אם v הוא וקטור מוזר של A, אזי גם 2v הוא וקטור מוזר של A.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
וקטורים מוזרים אינם יחידים — כל כפל סקאלרי לא-אפסי של וקטור מוזר הוא גם הוא וקטור מוזר.
קיבוע אלכסוני
- ניתן לכתוב $A = QDQ^{-1}$, כאשר $D$ היא מטריצה אלכסונית של ערכים בעלים ועמודות $Q$ הן הווקטורים בעלים.
- דבר זה הופך את החישוב של $A^n$ לקל: $A^n = QD^nQ^{-1}$, ו-$D^n$ הוא פשוט הערכים האלכסוניים מוצאים בחזקה $n$.
בדיאגונליזציה A = QDQ⁻¹, המטריצה D מכילה:
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
D היא מטריצה אלכסונית עם הערכים המוזרים של A על האלכסון הראשי שלה.
אם A = QDQ¹, אזי A³ = QD³Q⁻¹. אם ל-D יש כניסות אלכסוניות 1 ו-3, ל-D³ יש כניסות אלכסוניות 1 ו-?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
ל-D³ יש כניסות אלכסוניות 1³ = 1 ו-3³ = 27.
דוגמה מפורשת
- $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$. משוואה אופיינית: $(2-\lambda)^2 - 1 = 0 \Rightarrow \lambda^2 - 4\lambda + 3 = 0 \Rightarrow \lambda = 1$ או $3$.
- עבור $\lambda = 1$: וקטור מואף $\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$. עבור $\lambda = 3$: וקטור מואף $\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$.
- למטריצה עם קובעת אפס יש סינגולריות (היא אי-תורגשית ואין לה דו-הופכית).
הבנתך מושלמת
- ערכים מואפים פותרים $\det(A - \lambda I) = 0$; וקטורים מואפים מקיימים $A\mathbf{v} = \lambda\mathbf{v}$
- כפל וקטור מואף ב-$A$ גורם לו רק מתיחה
- דיאגונליזציה: $A = QDQ^{-1}$ (D = ערכים מואפים, עמודות Q = וקטורים מואפים)