שורשים של משוואות פולינומיות
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| quadratic/kwɒˈdrætɪk/ | ריבועי |
| root/ruːt/ | שורש |
| coefficient/ˌkəʊɪˈfɪʃənt/ | מקדם |
| cubic/ˈkjuːbɪk/ | מעוקב |
| substitution/ˌsʌbstɪˈtjuːʃn/ | הצבה |
הסוד הנסתר בכל משוואה
- לכל משוואה ריבועית ישנו שני מספרים נסתרים — הפיתרונות שלה. ניתן למצוא את סכמם ואת מכפלתם ללא פתרון המשוואה באופן ישיר.
- קשרים אלו בין הפיתרונות למקדמים מאפשרים לפתור בעיות שאחרת דורשו אלגברה מסורבלת.
פיתרונות של משוואה ריבועית
- עבור $ax^2 + bx + c = 0$ עם פיתרונות $\alpha, \beta$:
דוגמה מופת. $2x^2 - 7x + 3 = 0$. סכום הפיתרונות הוא $= \dfrac{7}{2}$, מכפלתם היא $= \dfrac{3}{2}$. בדיקה: הפיתרונות הם $3$ ו-$\dfrac{1}{2}$; סכוםם $= 3.5$ ✓, מכפלתם $= 1.5$ ✓.
פיתרונות של משוואה ריבועית ואופן הקשר שלהם למקדמים
שורשים של פולינום
y = ax³ + bx² + cx + d
השורשים הם הנקודות שבהן העקומה חוצה את ציר ה-x — הסכום והמכפלה שלהם קשורים למקדמים.
עבור x² − 5x + 6 = 0, מהו סכום השורשים α + β = −b/a?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
α + β = −b/a = −(−5)/1 = 5.
עבור x² − 5x + 6 = 0, מהי המכפלה αβ = c/a?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
αβ = c/a = 6/1 = 6.
פיתרונות של משוואה מעריכית
- עבור משוואה מעריכית $ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$ עם פיתרונות $\alpha, \beta, \gamma$:
- $\sum\alpha = -\dfrac{b}{a}$, $\sum\alpha\beta = \dfrac{c}{a}$, $\alpha\beta\gamma = -\dfrac{d}{a}$.
שימו לב לסימנים. סכום הפיתרונות הוא $-\dfrac{b}{a}$ (שלילי), והמכפלה של שלושת הפיתרונות היא $-\dfrac{d}{a}$ (גם כן שלילית). טעות בסימנים היא השגיאה הנפוצה ביותר.
עבור x³ − 6x² + 11x − 6 = 0, סכום השורשים Σα = −b/a. מצאו זאת.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Σα = −(−6)/1 = 6. (השורשים הם 1, 2, 3: הסכום = 6.)
עבור ax³ + bx² + cx + d = 0, מכפלת השורשים αβγ = d/a.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
מכפלת שלושה שורשים היא αβγ = −d/a (שלילית), ולא d/a.
התאמו כל קשר בין שורשים לנוסחה המתאימה (מקדם מוביל a).
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
ריבועית: α+β = −b/a, αβ = c/a. מעוקבת: Σα = −b/a, αβγ = −d/a (הסימן מתחלף לפי הדרגה).
שינוי פיתרונות
- כדי למצוא משוואה שבה הפיתרונים שונים בקלות, השתמשו ב-הצבה (למשל, $w = \alpha + 1$).
- דוגמה: $x^2 - 5x + 6 = 0$ ($\alpha+\beta=5$, $\alpha\beta=6$) → פיתרונים $\alpha+1,\beta+1$ נותנים סכום $7$, מכפלה $12$, ולכן $x^2 - 7x + 12 = 0$.
עם α + β = 5 ו-αβ = 6, מהי המכפלה (α+1)(β+1)?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
(α+1)(β+1) = αβ + α + β + 1 = 6 + 5 + 1 = 12.
דוגמה מופת — מציאת $\alpha^2 + \beta^2$
- נתונה $x^2 - 5x + 6 = 0$: $\alpha + \beta = 5$, $\alpha\beta = 6$.
- $\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta = 25 - 12 = 13$.
- ביטויים כמו $\sum\alpha$ הם פונקציות סימטריות של הפיתרונים.
עבור x² − 5x + 6 = 0, α² + β² = (α+β)² − 2αβ. מצאו זאת.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
(α+β)² − 2αβ = 25 − 12 = 13.
הבנתך מושלמת
- ריבועית: $\alpha+\beta = -\dfrac{b}{a}$, $\alpha\beta = \dfrac{c}{a}$
- קובית: $\sum\alpha = -\dfrac{b}{a}$, $\sum\alpha\beta = \dfrac{c}{a}$, $\alpha\beta\gamma = -\dfrac{d}{a}$
- הפוך שורשים באמצעות הצבה