מעגלים לוגיים
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| logic circuit/ˈlɒdʒɪk ˈsɜːkɪt/ | מעגל לוגי |
| Boolean expression/ˈbuːlɪən ekˈspreʃn/ | ביטוי בוליאני |
| problem statement/ˈprɒbləm ˈsteɪtmənt/ | ניסוח בעיה |
| truth table/truːθ ˈteɪbl/ | טבלת אמת |
| sum of products/sʌm ɒv ˈprɒdʌkts/ | סכום מכפלות |
| half adder/hɑːf ˈædə/ | מחבר חצי |
שלושה חיישנים, שני שערים, החלטה אחת
- תנור מיקרוגל מחמם רק כאשר הדלת סגורה וגם לחצן ההפעלה נלחץ וגם הטיימר לא הגיע לאפס.
- שלושה חיישנים מספקים שלושה אותות 0/1. שערי AND שני משלבים אותם לאות אחד המפעיל את המגנטרון. פתיחת הדלת גורמת להוצאה לירידה מידית ל0.
- כל נעילה בטיחותית, כל אזעקה וכל הוראת מעבד היא החלכה כמו זו, בנויה מששת השערים מהשיעור הקודם.
- שיעור זה עוסק בבניית וקריאת מעגלים כאלו, ובמעבר בין ארבע הדרך הכתיבה להחלכה אחת.
ארבעה מבטים לפונקציה אחת
- מעגל לוגי הוא רשת של שערים המבצעת ביטוי בולי.
- אותה פונקציה ניתן לכתוב כניסוח בעיה באנגלית, כביטוי, כתרשים מעגל או כטבלת אמת. המבחן דורש ממך לעבור בכל כיוון ביניהם.
- המספר כותב ביטויים במילים,
X = (A AND NOT B) OR (B AND C), ומקבל את הצורה האלגברית $X = A\overline{B} + BC$, שבה נקודה או ריקות היא AND, סימן פלוס הוא OR וקו עליון הוא NOT. השתמש בזה שהשאלה משתמשת בו.
שערים מחוברים יחד כדי לבצע ביטוי בוליאני
ביטוי למעגל
- צייר שער אחד לכל אופרטור, התחל מהסוגרים הפנימיים ביותר.
- עבור
X = (A AND B) OR (NOT C): שערי AND על A ו-B, שערי NOT על החוט C, ושער OR המשלב את שני התוצאות. - הקלטות בצד שמאל, פלט יחיד בצד ימין, כל קו מסתיים בקלט של שער או בפלט, והפלט מסומן כ-X.
שער אחד לכל אופרטור בביטוי
מעגלים לוגיים
שערים משתלבים למעגלים
לכל שער יש חוק קבוע; חיבורם בסדרה בונה כל מעגל — התחל בשער אחד.
עבור $X = (A \cdot B) + \overline{C}$ עם $A=1, B=1, C=1$, מהי ערך $X$?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$A \cdot B = 1$, ו-$\overline{C} = 0$. $X = 1 + 0 = 1$.
דוגמה מפורטת: מעגל לביטוי
- עבר מקדימה מהקלטות וחבר תווית לכל פלט ביניים.
- במעגל למטה, B עובר דרך שערי NOT. A ו-NOT B מזינים שערי AND: נסמן את הפלט שלו P, ולכן
P = A AND NOT B. B ו-C מזינים שערי AND נוסף:Q = B AND C. - P ו-Q מזינים את שערי OR, ולכן
X = P OR Q = (A AND NOT B) OR (B AND C). - תיוג P ו-Q אינו רק לעיצוב. הוא מה שמאפשר למלא את טבלת האמת שער אחת באחת.
תווה כל פלט ביניים לפני שתכתוב את הביטוי
במעגל המוצג, יציאת השער AND השני היא Q = B AND ____.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
B ו-C מזינים את שערי AND התחתון. סימון היציאה הזו כ-Q מאפשר למלא טבלת אמת בשער אחר בשער.
מעגל לטבלת אמת
- עבור $n$ קלטות ישנן $2^{n}$ שורות: שני קלטות נותנות 4, שלושה נותנים 8, ארבעה נותנים 16. רשום אותם בסדר ספירה בינארית.
- תן לטבלה עמודה ל-כל פלט ביניים וגם לפלט הסופי, כך שכל שורה נבדקת שער אחד באחת.
- מלא את העמודות משמאל לימין: תחילה את שערי NOT, ואז כל שערי AND, ואז שערי OR.
כמה שורות יש בטבלת אמת למעגל עם 3 קלטות?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$2^n$ שורות; עבור 3 קלטות, $2^3 = 8$.
כמה שורות עבור 4 קלטות?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$2^4 = 16$ שורות.
דוגמה מפורטת: השמונה שורות
- המעגל מהדוגמה המוצגת למעלה, עם עמודות עבור NOT B, P, Q ו-X:
| A | B | C | NOT B | P | Q | X |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 |
- X שווה ל-1 בארבע מתוך שמונה השורות. בדוק כל שורה נגד הביטוי: בשורה 1 הערכים הם 0 0, ולכן A = 1 ו-NOT B = 1, מכאן P = 1, ולכן X = 1.
עבור X = (A AND NOT B) OR (B AND C), איזה מהשורות הקלט הבאות נותן X = 1? סמן את כולם שמתאימים.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
שורה 011 גורמת ל-Q = 1; שורה 100 גורמת ל-P = 1. בשורה 110, B = 1 מבטל את P ו-C = 0 מבטל את Q; בשורה 001 שני האיברים הם 0.
טבלת אמת לביטוי: סכום כפילות
- סכום כפילות: עבור כל שורה שהפלט בה הוא 1, כתוב AND של הקלטות, והנח NOT על כל קלט שהוא 0 בשורה זו. לאחר מכן, OR את הביטויים הללו יחד.
- טבלה שהיא 1 רק ב-(A = 0, B = 1) וב-(A = 1, B = 0) נותנת
(NOT A AND B) OR (A AND NOT B), שזה בדיוק A XOR B. - פשטו רק אם השאלה דורשת זאת; סכום הכפילות לא מפושט זוכה בנקודות.
בשיטת סכום-מכפלים, עבור כל שורה שבה הפלט הוא 1 אתה כותב:
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
כל שורת 1 הופכת לאיבר AND (בלתי כולל את הקלטות 0); לאחר מכן OR את כל האיברים הללו יחד.
בסכום-מכפלים, אתה OR יחד איבר AND אחד לכל שורה שבה הפלט הוא 1.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
כל שורת פלט 1 הופכת לאיבר AND (בלתי כולל את הקלטות 0); חיבור OR של איברים אלו נותן ביטוי שהוא 1 רק בשורות אלו.
מחבר חצי
- חיבור שני ביטים נותן ביט סכום וביט משיאה: 1 + 1 = 10 במערכת הברירה.
- עמודת הסכום היא 0, 1, 1, 0, שזה XOR. עמודת המשיא היא 0, 0, 0, 1, שזה AND. שערי AND ו-XOR יוצרים מחבר חצי.
- זהו הדוגמה הסטנדרטית לקריאת שערים ישירות מטבלת אמת, והיחידה הראשונה בכל יחידת האריתמטיקה של מעבד.
כל זוג קלטות עובר דרך השערים: XOR נותן את הסכום, AND נותן את המשיא, ולכן 1 + 1 = 10
מחשב חצי
חבר את XOR ו-AND לשני הקלטים זהים: XOR ייתן את ביט הסכום, AND ייתן את הביט הנשאף. לחץ על A ועל B.
במחשבון חצי, איזה שערה מייצרת את ביט העריכה?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
העריכה היא 1 רק כאשר שני הביטים הם 1, זהו AND. הסכום הוא 1 כאשר הביטים שונים, זהו XOR.
מטקסט שאלה
- הפכו את הטקסט האנגלי לבוליאני משפט אחרי משפט לפני שמשירים לעשות שרטוט.
- "A וB" הוא
A AND B. "A או B, או שניהם" הואA OR B. "אחד בלבד מ-A ו-B" הואA XOR B. - "לא A ולא B" הוא
A NOR B. "לא שניהם" הואA NAND B. "אלא אם כן" (unless) בדרך כלל מסומל ב-AND NOT.
התאם כל ביטוי באנגלית לשערה היחידה שמייצרת אותו.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
גם = AND, שונה = XOR, לא = NOR, לא גם = NAND.
דוגמה מוצגת: אזעקת מכונה
- האזעקה X מצלצלת כאשר השער פתוח (A = 1) ואם גם המנוע עובד (B = 1) או הטמפרטורה גבוהה (C = 1).
- "גם B וגם C" הוא
B OR C. "A וזה" הואX = A AND (B OR C). הסוגריים סביב ה-OR חיוניים. - X = 1 דורש A = 1 ואת אחד מה-B או C שווה ל-1: השורות (1, 0, 1), (1, 1, 0) ו-(1, 1, 1). שלושה מתוך שמונה שורות, ואם A = 0 האזעקה לעולם לא תופעל.
- המעגל הוא שערי OR אחד על B ו-C המוזנים לשער AND עם A.
עבור האזעקה X = A AND (B OR C), האזעקה יכולה להשמיע כאשר A = 0 בתנאי ש-B ו-C הם שניהם 1.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
ה-AND עם A אומר ש-A = 1 נדרש בכל שורה שבה X = 1. עם A = 0, הפלט הוא 0 ללא תלות ב-B וב-C.
סימונים נופלים מהיד
A AND B OR Cללא סוגריים הוא בעייתי, ובוחן יקרא זאת כפי שלא התכוונת. סגרו סוגריים לפני ה-OR לפני החיבור ל-AND.- חוט שאינו מוביל למקום כלשהו, או יציאה ללא תווית, גוראים לאבד את ניקוד המעגל גם אם השערים נכונים.
- NOT על קלט הוא שער בדיאגרמה, ולא קו שכתוב מעל האות.
- שלושה קלטות פירושו שמונה שורות. טבלה עם פחות שורות לא תוכל להיחשב שלמה.
הבנתך מושלמת
- ביטוי → מעגל: שער אחד לכל אופרטור, סוגריים פנימיים ראשונים, קלטות משמאל, יציאה מסומנת מימין
- מעגל → ביטוי: סמנו כל יציאה ביניים (P, Q) ואחדו; מעגל → טבלת אמת: $2^{n}$ שורות עם עמודה לכל שער
- טבלת אמת → ביטוי: סכום מכפלות, איבר AND אחד לכל שורת יציאה=1, מחוברים ב-OR; XOR + AND יוצרים את המחבר המחציתי
- בעיה → בוליאנית: בדיוק אחד = XOR, אף אחד = NOR, לא שניהם = NAND; סגרו סוגריים לפני ה-OR בתוך AND